Discussion Projet:Géométrie/Fondements de la géométrie

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La création de cette page fait suite à un audit navrant. J'avais juste précédemment (une prémonition ?) ecrit ceci :


Abstract nonsense : les « 3 éceuils (/situations) », la « pétition de principe »

Les non-sens abstrait apparaissent dans des situations (les 3 éceuils) ...

  1. où le degré de généralisation dépasse l'entendement
  2. où l'ordre des choses est chamboulé (lorsque, par exemples, les définitions deviennent théorèmes et inversement ; les notions les plus élémentaire prennent un sens nouveau)
  3. où l'on tente de définir des notions trop fondamentales pour l'être

Voici un exemple[1] savoureux illustrant le dernier cas :

« Nous voyons d'abord M. Burali-Forti définir le nombre 1 de la manière suivante :
1 = \,^\!_\Game \hbox{T}\,\grave{\ } \{ \hbox{Ko} \cap (u,h) \backepsilon (u\,\epsilon \,\hbox{Un})\}

définition éminemment propre à donner une idée du nombre 1 aux personnes qui n'en auraient jamais entendu parler.

J'entends trop mal le Péanien pour oser risquer une critique, mais je crains bien que cette définition ne contienne une pétition de principe, attendu que j'aperçois 1 en chiffre dans le premier membre et Un en toutes lettre dans le second. »

—  Poincaré, Les mathématiques et la logique


Notes
  1. ↑ un exemple « propre à donner une idée du non-sens abstrait aux personnes qui n'en auraient jamais entendu parler »

Ce propos est tout à fait adapté à la situation, car avec cette page ("Fondements de la géométrie") nous flirtons avec le troisième éceuil (d'où la difficulté).

Le but de cette page, est de sortir la "géométrie sur WP" du deuxième éceuil, sans la faire sombrer dans le premier (et l'entendement du lecteur est malheureusement faible ; ce qui complique la tâche).

Le but de cette page est également de servir de référence, tant pour le contributeur, que pour le lecteur (si elle devient un article). C'est un travail préparatoire au remaniement des notions élémentaires.

On créera Fondements de la géométrie ou/et on utilisera son contenu pour remanier les notions élémentaires de la géométrie (Droite (mathématiques) en premier lieu)

Sommaire

[modifier] Première ébauche

Mon soucis a été de montrer « comment les choses s'accumulent et s'emboîtent » à la fois historiquement et conceptuellement.

Il est certain que cette ébauche en dit beaucoup, mais fort peu sur l'essentiel.

Je ne suis qu'un candide (éclairé) qui, avec "un audit navrant" ne faisait que formuler des pétitions de principes. Je souhaiterais conserver ce rôle de candide.

Par manque de temps, de compérences et de références (documentation), je n'ai pu aller plus loin. {{User:STyx/Signature}} 28 juin 2007 à 20:18 (CEST)

Wikipédia n'est pas le lieu pour éditer des travaux inédits. Ekto - Plastor 10 juillet 2007 à 14:02 (CEST)

[modifier] Propositions

  • Je propose d'adopter une terminologie simple et de créer une grille de lecture (commentée) qui fera référence (en servant de lien entre articles élémentaires et articles pointus). Par exemple :
terme rigoureux terme de substitution (employé ici) commentaires/explications (équivalence en tout généralité ?)
colinéaire parallèle ou confondue en tout généralité ?
congruent semblable notion sous-jacente de classe d'équivalence ...
  • Je prône aussi l'utilisation du modèle {{Énoncé}} qui apportera de la lisibilité au lecteur et contributeur (lisibilité du code wiki)

{{User:STyx/Signature}} 28 juin 2007 à 20:18 (CEST)

Je ne comprends pas bien ce que tu entends par cette grille de lecture.
Par ailleurs, je suis gêné par l'ambiguïté de la notion de « nature de l'énoncé » dans ton modèle. S'agit-il effectivement d'une « nature », qui n'admet ni numéro ni nom (et qu'on peut effectivement souhaiter obligatoire), ou du « nom » donné à l'énoncé, comme cela semble être le cas dans tes exemples, ce qui mériterait alors d'être mentionné à l'affichage de l'énoncé (et me semble facultatif).--Ambigraphe 2 juillet 2007 à 10:58 (CEST)
  • la « nature de l'énoncé » n'est visible qu'en info-bulle pour répondre aux réticence de Salle : « Je crois qu'il faut garder à l'esprit qu'on n'écrit pas un traité de maths ». Avec les numéros, j'anticipe une utilisation comme point d'ancrage (voir l'astuce du mois). L'utilisation du modèle reste à débattre. {{User:STyx/Signature}} 2 juillet 2007 à 17:12 (CEST)
Le modèle énoncé me parait être une bonne chose. Toutefois, un article de Wikipédia ne devrait pas ressembler à définition, définition, propriétés, théorèmes, démonstration. Au contraire, on est censé écrire des articles encyclopédiques sur des thèmes concernant les mathématiques. Il faut donc situer les publications, le contexte historique, les motivations premières, et l'importance d'un résultat. La preuve n'est pas indispensable (une source exacte où la propriété est démontrée devrait suffire). Seules les preuves centrales mériteraient à mon avis d'être rédigées sur Wikipédia.
D'où ma question : est-il vraiment indispensable de diffuser un modèle pour mettre en valeur un résultat ? Il est certain qu'un tel modèle a son utilité pour un article porte justement sur un célèbre théorème (la célébrité est toute relative). Ekto - Plastor 10 juillet 2007 à 14:02 (CEST)

[modifier] Géométrie affine et géométrie vectorielle

Comme M. Jourdain, j'ai fait, durant mes longues années d'études, de la géométrie sans le savoir. Aujourd'hui, qualifier de géométrie ces "géométries" n'apparait aussi ridicule que de qualifier de prose ce verbiage. {{User:STyx/Signature}} 29 juin 2007 à 23:15 (CEST)

Définir la droite par ces "géométries" est aussi caricatural que de définir le soleil comme « une tache qui brille dans le ciel le jour »... Ainsi le second écueil est assuré. {{User:STyx/Signature}} 29 juin 2007 à 23:15 (CEST)

J'approuve complètement tes idées d'exigence intellectuelle, de précision des énoncés, de respect des progressions historique et conceptuelle, mais je me méfie du purisme stérile. La géométrie est bien plus que la géométrie synthétique et il me semble fondamental d'exposer les différentes approches d'une notion, parfois contradictoires conceptuellement (une droite est-elle toujours vectorielle ? un corps toujours commutatif ? une fonction bien définie sur son domaine ?) mais toujours compatibles mathématiquement.--Ambigraphe 2 juillet 2007 à 11:06 (CEST)
Bien d'accord avec « La géométrie est bien plus que la géométrie synthétique » ; mais AMHA « Les fondements de la géométrie ne sont pas plus que la géométrie synthétique » (sauf si l'on intègre la topologie à la géométrie) {{User:STyx/Signature}} 9 juillet 2007 à 16:49 (CEST)
Je ne comprends rien. Que vient faire M. Jourdain de l'histoire ? Peut-on rester les pieds sur Terre ?
Limiter la géométrie à la seule géométrie synthétique me semble un point de vue très restrictif sur un domaine très riche, très diversifié et finalement englobant. La géométrie est un mélange de méthodes relevant de l'analyse fonctionnelle, de la topologie, de l'algèbre, de la combinatoire, ... Avec une approche purement synthétique, on me semble peu probable de pouvoir englober l'ensemble des connaissances actuelles en géométrie. C'était sans doute plus réaliste au XIXe siècle.
A première lecture, il me semblerait que tu ne considères pas la topologie comme partie de la géométrie, mais que tu reconnais volontiers que certains le font. Le principe de neutralité implique de confronter les deux points de vue dans un même article sans donner la priorité à l'autre.
Ekto - Plastor 10 juillet 2007 à 14:02 (CEST)

[modifier] Commentaires

  • Je réécrirais la première phrase de cette manière : « Historiquement et conceptuellement, la géométrie est née de ce qu'on nomme aujourd'hui (depuis quand ?) la géométrie synthétique. »
    La séparation de l'adjectif du nom me semble source de confusion en première lecture.
  • d'accord
Pas d'accord. La géométrie synthétique n'était pas une appellation connue des premières civilisations, qui pour autant étudiaient la géométrie. Il me semble que vous faites ici un contre-sens historique ou une réécriture de l'histoire a posteriori. Ektoplastor.
  • Y a-t-il une justification à mentionner l'espace avant le plan ?
  • conceptuellement cela vient avant
Ah bon ? Ektoplastor.
  • Dans les fondements physiques, la mention de « variété plongée dans un espace plus grand » me semble prématurée et inutile pour la suite du paragraphe. La courbure intéressante ici n'a pas besoin de cela.
  • d'accord
Historiquement, les premières variétés étudiées étaient les variétés plongées. Le point de vue intrinsèque a été introduit tardivement. Personnellement, je ne comprends pas le fil directeur de cette ébauche d'article, ni ce sur quoi il porte. Ektoplastor.
  • Une règle flexible n'a pas besoin d'être métallique, à moins que tu n'utilises cette image pour contourner la difficulté de dire précisément ce qu'est une règle flexible. Après tout, une ficelle peut servir de règle et elle est flexible également.
  • c'était effectivement pour « contourner la difficulté ... »
De quelle difficulté parle-t-on ? De celle de mesurer des longueurs ? Ekto - Plastor 10 juillet 2007 à 14:02 (CEST)
  • Je renommerais « Approche axiomatique de la géométrie » la partie « Fondements mathématiques », car il y a d'autres fondements mathématiques que l'on ne peut décemment récuser et qui permettent à mon sens de faire de la géométrie tout de même.
  • faut voir (quels « autres fondements » ?). En bon logicien, je pense que tout « fondement » est « axiomatique ».
Il y a une axiomatique derrière la construction des entiers, puis beaucoup de définitions et de raisonnements pour aboutir à la construction de la topologie de la droite réelle. À partir de là on commence la géométrie analytique sur des fondements qui ne sont pas axiomatiques de mon point de vue.
« beaucoup de ... » : oui est c'est pourquoi la géométrie analytique ne fonde pas : « La géométrie analytique est une approche de la géométrie ». Cela me semble être une formule parfaitement adéquate. C'est pourquoi l'article "droite" me déplait tant. La géométrie analytique ne définit la droite ; mais la caractérise (théorème). {{User:STyx/Signature}} 9 juillet 2007 à 16:38 (CEST)
Car le point de vue que tu adoptes est limité à celui d'un logicien. La géométrie analytique a l'avantage de permettre un calcul systématique pour démontrer efficacement un grand nombre de résultats. Elle trouve ses prolongements dans la géométrie différentielle. Pour autant, il ne me semble pas correct de définir la géoémtrie analytique comme une simple approche de la géométrie : elle en constitue une partie, importante aujourd'hui à travers ses applications, mais elle ne résume pas la géométrie.
Au contraire, de mon point de vue, je considère l'axiomatisation comme une approche des mathématiques qui a l'avantage de souligner l'indépendance de certaines propriétés et la spécificité de certains résultats. Toutefois, je ne considère pas que la logique (en tant que science) vient en premier, mais plutôt arrive après. Les logiciens s'appuient eux-mêmes sur une logique ruidimentaire et une série d'objets et de constructions intuitifs, par exemple, les entiers naturels, les manipulations sur les formules, l'existence de modèles.
Ekto - Plastor 10 juillet 2007 à 14:02 (CEST)
les mathématiques sans ses fondements ressemble à un dictionnaire ; on y trouve parfois que A est défini par B et B est défini par A. On est bien vite dans ce cas en géométrie et pour cela que j'essaye de retrouver les définitions premières. {{User:STyx/Signature}}

[modifier] géométrie analytique => espace est euclidien ?

  • Je conteste l'assertion selon laquelle en géométrie analytique, « l'espace est nécessairement euclidien ». D'autres normes permettent de faire de la géométrie dans un espace vectoriel réel. --Ambigraphe
  • tu penses aux normes Lp (entre autres). Amha, on sort de la géométrie ; il n'y a plus de produits scalaires (il me semble, sauf dans des espaces hilbertiens) ; donc plus d'angles.
Pour moi, l'essence de la géométrie est dans la distance. L'angle est un outil à l'appui de la mesure de longueur. Mais c'est une question de point de vue.
Et je conteste moi aussi. Tout dépend comment on lit la phrase. Si on parle de la seule géométrie analytique en dimension finie telle qu'elle avait été développée aux XVII, XVIII sciécles, alors oui, elle concerne effectivement la géométrie euclidienne en dimensions 2 et 3. Cependant, si on définit la géométrie analytique comme la mise en équations de problèmes géométriques, alors amha, elle concerne aussi bien l'étude de normes (sur des espaces de dimension finie) que l'étude des distances en géométrie hyperbolique. Encore une fois, il faut respecter les points de vue différents du sien.
Pour la discussion sur les angles et distances, voir plus bas. Ekto - Plastor 10 juillet 2007 à 14:02 (CEST)
Attention Ambigraphe a déformé le propos en le sortant du contexte. {{User:STyx/Signature}}
  • cela veut dire « l'espace est celui d'une géométrie euclidienne » (c'est clair compte tenu du contexte). Là encore, mettre la #Géométrie à toute les sauces mène à un malentendu. AMHA, une norme Lp (p≠2) n'étant ni euclidienne, ni non-euclidienne ; d'une certain manière, ce n'est plus de la géométrie. {{User:STyx/Signature}} 11 juillet 2007 à 02:18 (CEST)

[modifier] citation

  • La citation personnelle sur Wikipédia… comment dire… pourrait rester en page de discussion.
  • d'accord (… à terme)
Ah non ! Alors là, non, mais non, mais flute ! "Styx" est un pseudonyme ; on ne cite pas les pseudonymes des utilisateurs de Wikipédia, qui que ce soit dans la vraie vie. Alors, là franchement, j'aurais tout vu ! Sourire Ekto - Plastor 10 juillet 2007 à 14:02 (CEST)
  • pour le moment cette page n'est pas un article ! {{User:STyx/Signature}}

[modifier] géométrie riemannienne = espace euclidien ?

  • Une géométrie non-euclidienne n'est certainement pas toujours plongée dans un espace vectoriel de dimension supérieure.--Ambigraphe 2 juillet 2007 à 11:39 (CEST)
  • Ah ? J'avais bien un doute à ce sujet. Tout cela montre qui reste bien des choses à préciser sur WP concernant la géométrie. {{User:STyx/Signature}} 2 juillet 2007 à 17:43 (CEST)
Si on admet la norme infinie comme générant une géométrie, il est facile de voir qu'elle ne se plonge pas isométriquement dans un euclidien. Si tu te restreins aux variétés riemanniennes, tout dépend de ce que tu appelles « plongement ».--Ambigraphe 2 juillet 2007 à 20:59 (CEST)
Oui pour le « plongement » est (pour moi) une notion liée aux variétés riemanniennes, et j'aurai bien du mal à la préciser. {{User:STyx/Signature}} 9 juillet 2007 à 16:55 (CEST)
Hem. Il faudrait préciser ce qu'est une géométrie non-euclidienne. J'ai l'impression que les géoémtries non euclidiennes se limitent aux seules géoémtries sphérique, euclidienne et hyperbolique. L'expression géoémtrie non-euclidienne m'a toujours perturbée. Sinon, oui, les variétés riemanniennes s'immergent dans des espaces euclidiens de dimension (bien) supérieures ; mais ce résultat n'a pas vraiment d'importance et ne mérite d'être cité que sur la page concernant la géométrie riemannienne en le relativisant : la plupart des constructions de nouvelles variétés riemanniennes dépend du point de vue intrinsèque.
De plus, le résultat n'aurait aucun sens pour les géométries pseudo-riemannienne, algébrique, et symplectique. Ektoplastor.
  • je rappelle quant même en passant que la phrase est « En géométrie riemannienne »
  • la phrase est effectivement erronée : le terme « géométrie non-euclidienne » est inadéquat. Voir #Géométrie riemannienne
  • « la norme infinie comme générant une géométrie » : non on ne peut admettre cette formulation (c'est encore un exemple de « #Géométrie à toute les sauces ») {{User:STyx/Signature}} 10 juillet 2007 à 20:21 (CEST)

[modifier] « distance » en géométrie

« l'essence de la géométrie est dans la distance. »

  • Non (pas en mathématiques) et ce n'est pas une question de point de vue.
  • De plus, je pense que la notion de distance (et plus encore de « mesure ») sort du cadre de la géométrie ; mais là «  c'est une question de point de vue ». {{User:STyx/Signature}} 9 juillet 2007 à 17:17 (CEST)
Hem. Tout d'abord, les premiers géomètres étudiaient les rapports de distances et les angles dans des figures planes ou dans des figures de l'espace.
De plus, encore aujourd'hui, la notion de distance est centrale en géométrie. Par exemple, comment pourrait-on démontrer qu'une variété riemannienne compacte est géodésiquement complète sans utiliser la notion de distance riemannienne ? Il faut savoir que des variétés compactes peuvent ne pas être géodésiquement complètes (comme le quotient de R_+ par une homothétie. De nombreux espaces (pas tous) manipulés couramment en géoémtrie sont non seulement séparés mais de plus métrisables. L'introduction de distances adaptées aux problèmes étudiés a toute son importance ; et certaines distances captent l'essentiel de la géométrie. Evidemment, on pourrait me répondre qu'il s'agit là de simples utilisations.
Et bien non. Le signe de la courbure d'une variété riemannienne peut être caractérisé en termes d'inégalités sur les distances : c'est l'essence des théorèmes de comparaison ; et ils s'avèrent finalement plus manipulables que la définition de la courbure (j'espère qu'Ambigraphe sera d'accord sur ce point). La courbure négative se traduit par un éloignement convexe entre les géodésiques, propriété très importante. Une fois dégagée, elle peut être prise comme définition de la courbure négative et s'appliquer à des familles d'espaces métriques, appelés espaces à courbure négative.
L'étude d'un groupe abstrait ou l'étude d'un graphe (d'un point de vue géoémtrique) sont d'autres exemples dans lesquels les distances interviennent. Et ces études relèvent bien de la géométrie. Je peux donner de nombreux autres exemples si on me le demande. Ekto - Plastor 10 juillet 2007 à 14:02 (CEST)
Et puis dans géométrie il y a quand même métrie, ce qui me semble suggérer que la notion de distance est la notion centrale. Je trouve que l'utilisation moderne du mot, où l'introduction d'une distance amène à des géométries particulières, mais où on peut faire de la géométrie sans distance (géométrie algébrique par exemple), ressemble fort à un contresens étymologique.Salle 10 juillet 2007 à 14:12 (CEST)

Je me doutais bien qu'en ne développant pas mon propos, je m'exposais à de vives réactions :

  • le terme « fondement » s'oppose à celui « développement » ; or la géométrie riemannienne est (au mieux) un développement de la géométrie ; une « extension » ; (mais je préfèrerais dire une « extrapolation »)
  • « géométrie il y a quand même métrie » : chez les grecs (et en tout cas chez Euclide), la notion de mesure est différente de celle d'aujourd'hui : mesurer n'est pas attribuer une valeur à une grandeur ; mais plus simplement comparer des grandeurs. Autrement dit, la règle n'était pas graduée ; mais le compas permet de reporter une grandeur sur une autre pour déterminer l'ordre de grandeur. Les anciens géomètres n'entendaient pas définir la géométrie par le nombre ; mais, au contraire, définir le nombre par la géométrie.
  • « c'est l'essence des théorèmes de comparaison ; et ils s'avèrent finalement plus manipulables que la définition de la courbure  » : cela apporte de l'eau à mon moulin ;) {{User:STyx/Signature}} 10 juillet 2007 à 16:02 (CEST)
Les théorèmes de comparaison sont des théorèmes qui permettent de comparer les rapports de longueurs avec le cas des géométries euclidienne, sphérique et hyperbolique. Je l'ai cité pour justifier l'importance de la notion de distance en géométrie. Pour autant, la définition de courbure a toute son importance et ses applications ne se restreignent évidemment pas à ces seuls théorèmes !
Pour en venir au coeur du sujet :
  • Quel est l'objectif de cet article ?
  • Quelle est son organisation ?
  • Quel est le sens des mises en garde préliminaires ? De qui tient-on ces mises en garde ? Mise en garde par rapport à quoi ? Pour rappel, le terme mise en garde introduit une prise à partie du lecteur et implique l'énoncé d'une opinion personnelle de l'auteur ; il est certainement mal choisi.
  • Dans les "fondements physiques" (expression dont je ne comprends pas vraiment le sens), sont citées les géodésiques dont la définition exacte (courbe minimisant localement la distance) dépend de l'introduction d'une distance. N'aurais-tu pas la mauvaise impression que tu te contredis toi-même ? De plus, encore une fois, on ne dois pas se limiter à un seul avis...
  • La géométrie à la rècle et au compas ... Pourquoi ne parle-t-on pas de la géométrie au compas seul ? Hem ... Si dans ce paragraphe, il s'agit d'expliquer les motivations de ces problèmes, alors leur place est dans les articles dédiés. Je ne comprends pas où on veut en venir.
  • Le pliage du papier n'est pas une approche marginale pour un enfant découpant le patron d'un cube sur une feuille. Mais je vois vraiment pas où on veut en venir.
  • Le paragraphe Fondements mathématiques fait des redites par rapport à d'autres articles comme Axiome de Hilbert (je ne juge pas le contenu de l'article actuel mais son potentiel).
  • Le terme de géométrie associé aux vecteurs peu sembler abusif ... opinion bien personnelle.
Mon gros souci avec cette ébauche est qu'elle entremêle pêle mêle les notions, avec un regard réducteur sur les objets mathématiques. Certains passages me semblent être des contre-sens, et d'autres des redites. D'où une question : en quoi cet article serait-il indispensable à l'encyclopédie ? Qu'est-ce que dira l'article qui ne pourrait pas être dit dans des articles déjà existants ?
Sourire Ekto - Plastor 10 juillet 2007 à 16:49 (CEST)

[modifier] Fondement des maths

Un objet (ou un groupe d'objet) mathématique (et sa discipline) est un fondement des maths lorsque qu'il est défini de manière autonome par une axiomatique. La discipline des fondements maths est la logique mathématique. (ce à quoi il faudrait rajouter l'algèbre qui fonde les "structure" mathématiques.)

Les principaux objets fondamentaux et les disciplines fondatrices sont :

  1. la théorie des ensembles pour les ensembles
  2. la théorie des nombres pour les nombres
  3. la géométrie pour la droite et son espace (tous les espaces ne sont pas géométriques)
  4. la topologie pour le voisinage, ouvert/fermé

Ce statut de discipline fondatrice apporte leur lettre de noblesse à ces disciplines. C'est pourquoi, AMHA, aborder ces disciplines par le biais de disciplines plus élaborées, c'est rabaisser la discipline et renverser l'ordre des choses. {{User:STyx/Signature}} 10 juillet 2007 à 16:34 (CEST)

Renverser l'ordre des choses ?
Ton approche -si je la comprends- me semble constructive.
Prenons donc la logique mathématique. Pourrait-on la considérer comme point de départ ? Sans doute des gens sérieux le font ; cependant, un, beaucoup de mathématiciens travaillent et démontrent des tas de choses intéressantes sans jamais avoir lu le moindre texte de logique ; deux, historiquement, la logique mathématique est arrivée tardivement ; trois, beaucoup de mathématiciens répondront que les fondements se déduisent en réalité des concepts et des objets étudiés et déjà prédéfinis ; quatre, on peut critiquer légitimement l'insuffisance de la logique.
défini de manière autonome par une axiomatique : Je ne vois aucun objet mathématique qui puisse être défini de manière autonome. Chaque objet que tu as cité (ensemble, nombre, droite, espace, voisinage, ouvert, fermé) dépend d'autres concepts sur lesquels on ne revient pas. Mais je veux bien en discuter séparément.
D'autres considéreraient une autre combinaison possible de disciplines "fondatrices", tout comme le mot "disciplines" n'a pas le même sens, et tout comme chaque "discipline" a un sens différent suivant les auteurs.
Pour toi, l'analyse et l'algèbre seraient exclues des disciplines "fondatrices" ? Pourquoi ?
Enfin, j'aimerais surtout que tu m'expliques où tu souhaites en venir avec cet article (outre le différend de point de vue). Ekto - Plastor 10 juillet 2007 à 17:19 (CEST)
autonome signifie indépendamment d'autres notions mathématiques. {{User:STyx/Signature}}
Oui je sais ! Ce que je dis, c'est que l'approche qu'offre la logique mathématique donne peut-être l'impression que les définitions sont autonomes ; mais elles ne le sont pas. Il me semble peu probable d'arriver un jour à définir des notions sans faire appel à d'autres notions.
Exemple : La "définition" d'un ensemble s'appuie sur une série d'axiomes, donc des formules définies avec des variables et des symboles. Pour autant, sans la notion d'ensemble, comment définir rigoureusement la notion de formule ? Quel sens rigoureux donner aux opérations comme passer de P(v) à \exists v''P''(''v'') sans avoir à parler de loi de concaténation, ou comment définir la concaténation sans faire appel à des ensembles ? Pour écrire le schéma de compréhension, on a besoin d'indexer par des formules. Sans le concept d'ensemble, comment définir ce qu'est une indexation ?
Je vois en outre que tu ne considére pas les catégories comme un objet fondateur, pourquoi ? Ekto - Plastor 11 juillet 2007 à 14:47 (CEST)
Peut-être que l'arithmétique peut se fonder sans utiliser la notion d'appartenance, je ne maîtrise pas assez le sujet. La géométrie synthétique l'utilise en la redéfinissant à sa manière. Mais classiquement l'algèbre et la topologie ne sont donc pas autonomes et partent de la théorie des ensembles. Il faut chercher chez Thom pour trouver une vision fondatrice sur la topologie, je ne sais pas jusqu'où il est allé en ce sens.
Quant à la « noblesse » en mathématiques, elle est probablement très réductrice. On ne « rabaisse » la discipline qu'en l'appauvrissant.--Ambigraphe 11 juillet 2007 à 18:11 (CEST)

[modifier] Géométrie à toute les sauces

Le terme géométrie est collé à toute les sauces ; la faute à Euclide.

Sans Euclide, la géométrie n'aurait été synonyme de mathématiques pendant plus d'un millénaire. Sans Euclide, la géométrie aurait donc été plus modeste, et l'on n'aurait pas qualifié de géométrie des questions sur la transcendance des nombres (qui relève de l'algèbre), le calcul de racines et l'étude de courbes (qui relève plutôt de l'analyse).

Mais surtout, sans Euclide, la géométrie aurait été formalisée au XIXe siècle et la « géométrie synthétique » aurait été baptisée « théorie de la géométrie » et la « géométrie analytique » simplement nommée « géométrie ». Les choses aurait été claires.

Mais voilà, la « géométrie synthétique » est antérieure à la « géométrie analytique ». Les choses auraient put rester claires si la « géométrie synthétique » était restée simplement « géométrie » et la « géométrie analytique » baptisée « géométrie appliquée ».

Il faut donc faire le distinguo entre les disciplines :

  • les branches de la géométrie synthétique qui définissent la/une géométrie
  • la géométrie analytique qui est « une approche de la géométrie » (un modèle) qui la rend praticable ("opérationnel")
  • le programme d'Erlangen qui caractérise les géométries
  • la géométrie riemannienne qui étend la géométrie analytique grâce à la topologie. (Il serait plus juste de parler d'extrapolation, voir ci-dessous) {{User:STyx/Signature}} 10 juillet 2007 à 21:39 (CEST)
  • ... (bien sur) {{User:STyx/Signature}} 23 août 2007 à 20:19 (CEST)
Que serait le monde si le traité d'Euclide n'avait pas été rédigé ? Vaste question ... Avec des Si ... Certainement les mathématiques n'auraient pas pris autant d'importance, ou si, mais peut-être avec moins de rigueur, ou plus. On n'est pas là pour refaire le monde !
Ah ? Quid la géométrie algébrique ? Quid la géométrie symplectique ? Quid la géométrie non commutative ? On les vire ?
Je dirai simplement qu'il n'y a pas une et une seule acceptation du mot géométrie. L'article géométrie est en effet médiocre, mais toute définition donnée de géométrie soit comme ensemble de connaissances, soit comme domaine de recherche, soit comme approche ou méthode ou d'étude, se doit d'être sourcée (et de préférence, que la source soit écrite par un mathématicien reconnu). Es-tu au moins d'accord sur ce point ?
Je pense que le "différend" est plus sur le sens des termes que sur le savoir en lui-même.
Ekto - Plastor 11 juillet 2007 à 14:28 (CEST)

[modifier] Géométrie riemannienne

Il y a des choses qui sont bonnes à dire pour clarifier la situation ; même si à nouveau, c'est trop provoquant pour que l'on ose les dire :

« La géométrie riemannienne n'est pas de la géométrie mais une extrapolation de la géométrie. »

Pourquoi ?

  • D'abord parce que c'est bien plus que cela : Géométrie riemannienne = géométrie+topologie+calcul différentiel (grosso modo). La topologie est une discipline à part entière et l'assimiler à de la géométrie est lui faire injure. De plus, la géométrie analytique introduit des notions nouvelles (orientation, pôle (à comfirmer)) étrangère à la géométrie (à ma connaissance)
  • ensuite le langage est différent : "géodésique" au lieu de "droite", "variété" au lieu d'"espace".
  • pour que l'on puisse parler de nouvelles géométries, il faudrait faire de la variété une espace à part entière (c.-à-d., sans immersion)
  • enfin assimilé une variété à une géométrie non-euclidienne conduit à des aberrations (voir plus haut) {{User:STyx/Signature}} 10 juillet 2007 à 21:39 (CEST)
C'est un point de vue personnel qui peut se défendre. Pour certains, la géométrie ne serait pas un domaine des mathématiques, mais un point de vue adopté par des mathématiciens pour étudier justement des objets mathématiques. Un autre point de vue consiste à voir la géométrie riemannienne comme une partie de la géométrie. Pour répondre aux différents points :
  • Oui la géométrie différentielle mêle topologie, analyse et géométrie, et donc ? Je ne comprends pas l'argument.
  • Deuxième point : et pourtant, on rencontre couramment "espace symétrique", "espace de configurations", ... En mathématiques, le mot espace n'a pas une unique acceptation. (Je vais d'ailleurs donner mon avis (défavorable) sur l'article Espace (notion)).
  • Pas besoin d'immersions pour définir ce qu'est une variété. C'est toute la différence entre une approche extrinsèque et intrinsèque. Quand on parle du cercle unité du plan euclidien et du quotient de R par une translation, on parle de la réalisation géométrique d'une et une seule variété à difféo près : l'unique variété compacte et connexe de dimension 1.
  • Dernier point : En réalité, on prend des variétés riemanniennes (sphère, et plan hyperbolique) comme modèles. En fait, à bien y réfléchir, c'est un petit contre-sens historique :).
Ekto - Plastor 11 juillet 2007 à 14:18 (CEST)

[modifier] But de cette page

J'ai du mal à comprendre le sens de cette page et dans quelle direction tu veux avancer ? La question des fondements de la géométrie est très vaste, très profonde, et, à mon avis, et au vu de la qualité des articles, dépasse largement nos compétences.

Par ailleurs, l'objet même d'une encyclopédie n'est pas de présenter un point de vue sur une question donnée mais tous les points de vue sur cette question. Le travail de cette page ne peut aboutir, au mieux, qu'à des portions d'articles.

Je trouvais ton audit pertinent dans l'ensemble. Mais il me semble qu'il y a des tâches plus urgentes, plus limitées et plus simple : remplir de nombreux articles vides, donner du sens à beaucoup, faire des figures, des liens, etc.

--Alcandre (») 18 juillet 2007 à 10:03 (CEST)

Finalement, je ne suis pas loin de partager ton opinion ; mais je pense quand même que :
  • il faut aborder tout (encyclo) les sujets aussi ardu soit-il.
  • il faut un "article détaillé" (d'appronfidissement) pour les notions fondamentales de la géométrie
  • si ce ne sera en définitive que "des portions d'articles" ; c'est déjà ça.
J'ai importé la page prématurément (à la demande d'Ambigraphe, je crois) et en espérant d'autres contributeurs ... malheureusement Triste... . Je vais rependre cela et développer. {{User:STyx/Signature}} 23 août 2007 à 20:41 (CEST)

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