Un article de Wikipédia, l'encyclopédie libre.

Historiquement et conceptuellement, la géométrie est avant tout synthétique (que l'on nomme également géométrie pure). On tente^[1] donc ici une présentation des fondements de la géométrie selon l'approche synthétique dans un premier temps. Cette approche axiomatique ne fait appel ni à la notion de dimension, de distance, de mesure, ni même à celle des nombres. Les Éléments d'Euclide constitue une première axiomatisation de la géométrie (qui deviendra « euclidienne » et dont la formulation moderne et l'axiomatique de Hilbert). La seconde est celle de la géométrie projective qui apparait aujourd'hui comme la plus fondamentale. Puis la découverte de géométries non-euclidiennes apporta de nouveaux axiomes alternatifs^[2].

Les notions de base de la géométrie sont : le point, la droite, le plan et l'espace sensible^[3].

Les principales notions dérivées sont le segment (de droite^[4]) puis le triangle, le parallélisme puis l'angle et l'orthogonalité, le cercle, la surface, etc.

Outre ces objets, la géométrie définit des opérations de transformation : la translation et la rotation en premier lieu. Puis la symétrie, la projection, l'isométrie, l'homothétie.

Règles nécessaires pour les définitions N'admettre aucun des termes un peu obscurs ou équivoques sans définitions. N'employer dans les définitions que des termes parfaitement connus ou déjà expliqués. Règles nécessaires pour les axiomes Ne demander en axiomes que des choses parfaitement évidentes. Règles nécessaires pour les démonstrations Prouver toutes les propositions, en n'employant à leur preuve que des axiomes très évidents d'eux mêmes, ou des propositions déjà montrées ou accordées. N'abuser jamais de l'équivoque des termes, en manquant de substituer mentalement les définitions qui les restreignent ou les expliquent. — extraits[5] de Pascal, De l'Esprit Géométrique

Sommaire 1 Mises en garde préliminaires 1.1 Droite versus segment 1.2 Géométrie d'Euclide versus géométrie euclidienne 1.3 Angle versus valeur de angle 2 Fondements physiques 2.1 Géométrie à la règle et au compas 3 Fondements mathématiques 3.1 Classification des axiomes 3.2 Géométrie projective 3.2.1 Espèces 3.2.2 Projection et section 3.2.3 Dualité 3.2.4 Axiomes de l'incidence 3.2.5 Axiomes de l'ordre 3.2.6 Axiome de continuité 3.3 Géométrie arguésiennes 3.3.1 Géométrie affine 3.4 Géométrie euclidienne et non-euclidiennes 3.5 Un aperçu de la géométrie d'Euclide 3.6 Géométrie euclidienne 3.7 Géométrie non-euclidienne 3.7.1 Géométrie hyperbolique (ou lobatchevskienne) 3.7.2 Géométrie elliptique (ou riemannienne) 4 Géométrie analytique 4.1 La métrique 4.2 L'algèbre linéaire 4.3 Programme d'Erlangen 4.4 Géométrie différentielle 5 En vrac 5.1 Groupes de transformations géométriques 5.2 Géométrie de l'empan 5.3 Géométrie du compas 5.4 Formule de Laguerre 5.5 Géométrie cayleyenne 5.6 Métrique cayleyenne 5.7 Géométrie multidimensionnelle 5.8 Notes 5.9 Références 5.10 Articles connexes

[modifier] Mises en garde préliminaires

[modifier] Droite versus segment

Pour Euclide comme pour de nombreuses personnes, la notion de droite se confond avec celle du segment^[4]. Ainsi dit-on : « La ligne droite est le plus court chemin pour aller d'un point à un autre. ». Contrairement au segment qui joint ses deux points extrêmes, la droite est un objet qui s'étend à l'infini^[6] (donc, non borné) et passe par des points. La droite est donc une abstraction qui se définie par prolongation du segment. Cette prolongation est loin d'être triviale.

[modifier] Géométrie d'Euclide versus géométrie euclidienne

[modifier] Angle versus valeur de angle

Il faut faire le distinguo entre l'angle et sa valeur. Un angle n'est pas un nombre ; mais est assimilable est une classe d'équivalence

[modifier] Fondements physiques

La géométrie (qui signifie « mesure des terrains ») a d'abord appartenu au champ de la physique. Ce fut alors l'art de mesurer. Puis Les Éléments d'Euclide furent la première assise mathématique de la géométrie. La première intuition de la droite peut se formuler ainsi :

L'on décrit une droite lorsque l'on "marche" droit
et marcher droit, c'est aller vers le but fixé par le chemin le plus court^[7].

De plus, selon le principe d'inertie

L'on marche droit (et régulièrement) lorsque l'on est libre de toute influence.

Ainsi en physique, « tout plus court chemin pour aller d'un point à un autre est un segment de droite ». On parle alors plus volontier de géodésique que de droite car les droites apparaissent souvent courbes dès que l'on sort de la géométrie euclidienne.

On peut appréhender la géométrie du plan euclidien de deux manières :

1. à la règle et au compas
2. par le pliage du papier

[modifier] Géométrie à la règle et au compas

Conceptuellement, la règle est un outil à définir des segments de droites. En géométrie synthétique, l'écart entre deux points n'est pas mesurable (en d'autres termes, la règle n'est pas graduée) ; mais il est comparable. Le premier rôle du compas est de reporter l'écart entre deux points sur une droite quelconque. En second lieu, le compas est un outil à définir des circonférences. Avec ces outils, on travaille dans un plan (matérialisé par une feuille de papier, par exemple) ; mais cet espace de travail est une variété plongée dans un espace plus grand. On peut alors parler de courbure.

Initialement, la géométrie à la règle et au compas se limitait au plan euclidien^[8]. Cependant, cette géométrie est extensible aux plans non-euclidiens^[9].

Une règle métallique suffisamment flexible peut épouser convenablement^[10] un plan non-euclidien. La "règle" adaptée peut fort bien être totalement rigide pour peu qu'elle soit conforme au plan de travail qui sera alors nécessairement de courbure constante.

[modifier] Fondements mathématiques

La géométrie a pour objet l'étude de l'espace ; notion abstraite qui ne peut être appréhendée qu'au travers des objets physiques qui le peuplent : corps matériels ou champs énergétiques. De plus, la géométrie synthétique se limite à la description de l'espace sensible (donc tridimensionnel^[3]). L'extension aux espaces multidimensionnels est l'apanage de la géométrie analytique.

Le géomètre a le soucis des figures. Ainsi, la géométrie a longtemps été figurative ou descriptive : géométrie de la règle et du compas, du té, de l'empan, de l'équerre, par le pliage du papier^[11],...

Pour ces raisons, certains donnent à la géométrie un statut épistémologique singulier ; à mi-chemin entre physique et mathématiques.

Pourtant, la géométrie a été la première science à laquelle ait été appliquée la méthode logico-déductive ; ce qui passe par l'existence d'une base axiomatique.

[modifier] Classification des axiomes

Classification par groupes des axiomes de la géométrie

désignation	description
incidence (ou appartenance)	définit des relations entre diverses figures fondamentales d'espèces différentes
ordre	définit une relation entre diverses figures élémentaires
continuité	pose l'existence de certains éléments[12]
parallélisme	relation entre figures de mêmes natures ; cet axiome définit bien sur le parallélisme et permet de passer de la géométrie projective à la géométrie affine.
congruence	relation entre figures de mêmes natures ; ces axiomes complètent la géométrie affine pour former les Éléments d'Euclide.
intégrité	cet axiome affirme l'impossibilité d'adjoindre une notion nouvelle aux notions fondamentales sans modifier au moins un des axiomes précédents[13].

[modifier] Géométrie projective

Cette géométrie est certainement la plus minimaliste et n'intègre pas les notions de parallélisme et de congruence, ce qui en fait un tronc commun^[14] pour les autres géométries.

[modifier] Espèces

Les formes de première espèce de la géométrie plane sont :

• Les ponctuelles : Une ponctuelle est l'ensemble des points d'une droite (la droite est le support de la ponctuelle)
• Les faisceaux de droites : Un faisceau de droites est l'ensemble des droites d'un plan qui passent par un point donné.
• Les faisceaux de plans : Un faisceau de plans est l'ensemble des plans de l'espace qui passent par une droite donnée (cette droite est le support ou l'arête du faisceau.

Les formes de deuxième espèce sont :

• Les plans ponctuels : Un plan ponctuel est l'ensemble des points d'un plan
• Les plans réglés : Un plan réglé est l'ensemble des droites d'un plan.
• Les gerbes de droites : Une gerbe de droites (ou de rayons) est l'ensemble des droites passant par l'un des points d'un plan ponctuel donné et un point donné hors de ce plan.
• Les gerbes de plans : Une gerbe de plans est l'ensemble des plans passant par l'une des droites d'un plan réglé donné et un point donné hors de ce plan.

Les formes de troisième espèce sont :

• L'ensemble des points de l'espace
• L'ensemble des plans de l'espace

[modifier] Projection et section

La géométrie projective tire son nom de l'opération de projection qui consiste à mener des droites par chaque point d'une forme donnée (ponctuelle ou plan ponctuel) à partir d'un point donné (appelé centre) extérieur à cette forme. Ainsi, la projection d'une ponctuelle engendre un faisceau de droites ; une gerbe de droites est le résultat de la projection d'un plan ponctuel à partir d'un point extérieur. Une gerbe de plans est également vu comme le résultat de la projection d'un plan réglé à partir d'un centre.

Une droite qui ne coupe pas l'arête d'un faisceau de plans définit une ponctuelle appelée section de ce faisceau. À tout plan du faisceau correspond un point de la ponctuelle portée par la droite.

On définit de même la section d'un faisceau de droites par une droite du plan du faisceau mais n'appartenant pas à celui-ci, ou la section d'une gerbe par un plan ; cette section engendre un plan ponctuel ou réglé suivant que la gerbe est constituée par des droites ou des plans.

Les opérations de projection et de section sont duales dans le sens où elles sont inverses l'une de l'autre.

[modifier] Dualité

[modifier] Axiomes de l'incidence

Dans une forme de deuxième espèce, deux formes de première espèce ont un élément commun.

En d'autres termes :

• Deux droites coplanaires ont un point commun.
• Deux faisceaux coplanaires de droites ont une droite commune.
• Dans une gerbe de droites, deux faisceaux ont une droite commune.
• Dans une gerbe de plans, deux faisceaux ont un plan commun.

Dans une forme de deuxième espèce ou de troisième espèce, deux éléments déterminent une forme de première espèce ; ces deux éléments appartiennent à la forme qu'ils déterminent.

Ainsi:

• Deux points déterminent une ponctuelle.
• Deux droites coplanaires définissent un faisceau de droites.
• Deux droites concourantes définissent un faisceau de droites.
• Deux plans engendrent un faisceau de plans.

Trois éléments d'une forme de troisième espèce ou de troisième espèce qui n'appartiennent pas à une forme de première espèce déterminent une forme de deuxième espèce ; ces trois éléments appartiennent à la forme qu'ils déterminent.

Cette axiome énonce donc :

• trois points non alignés déterminent un plan
• trois plans, qui n'appartiennent pas à un faisceau de plans, engendrent une gerbe de plans.

Ces axiomes entrainent que deux plans ont une droite commune ; ce qui caractéristique de la géométrie tridimensionnelle (et projective).

[modifier] Axiomes de l'ordre

Ces axiomes caractérisent entre autres les propriétés des ségments.

Trois éléments (et pas moins) d'une forme de première espèce déterminent un ordre sur celle-ci.

L'ordre de trois éléments d'une forme de première espèce est conservée par permutation circulaire (mais pas par transposition).

Toute une séquence^[15] d'au moins trois éléments d'une forme de première espèce peut être ordonnée et implique un ordre pour tout triplet d'éléments de la séquence.

Dans une séquence ordonnée on peut inclure un élément supplémentaire à une place quelconque, et cela en conservant l'ordonnance.

La projection et la section conservent l'ordre.

Quatre éléments d'une forme de première espèce étant donnés, il n'existe qu'une façon de les grouper en deux paires qui se séparent.

L'ordre permet notamment d'ordonner les points d'une droite. Toutefois l'ordre ainsi défini s'apparente plus à la notion de triède, qu'à une relation d'ordre (binaire). De ce point de vue, une droite projective s'apparente plus à un cercle car deux points définissent deux segments dits supplémentaires.

[modifier] Axiome de continuité

Sur une forme de première espèce déterminons un ordre ; sur un segment de cette forme, supposons que l'on puisse répartir tous les éléments, sauf peut-être un, en deux classes telles que :

1. tout élément appartient à une classe et à une seule ;
2. selon l'ordre choisi, tout élément de la première classe précède tout élément de la seconde classe.

Il existe alors un unique élément du segment (appelé l'élément limite) qui suit un élément quelconque de la première classe et précède un élément quelconque de la seconde.

Cet axiome permet de lier les éléments d'une forme de première espèce aux nombres réels. À l'inverse de la géométrie analytique, la géométrie synthétique fonde le nombre à partir de la géométrie.

[modifier] Géométrie arguésiennes

Desargues a redéfini la notion de parallélisme en introduisant les éléments impropres^[16] : point impropre (assimilable au point de fuite), droite ou plan impropres. La géométrie arguésienne se caractérise donc par la distinction d'éléments impropres. L'ajout des éléments impropres est comparable à une fermeture de l'espace. Il permet de "faire d'une géométrie classique, une géométrie projective".

Toute droite (propre) possède un unique point dit impropre.

Bien sur, les points impropres d'un plan forment une droite impropre ; les point impropres de l'espace forment un plan impropre.

[modifier] Géométrie affine

La notion d'élément impropre n'est pas nécessaire à la géométrie projective ; mais sert de "passerelle" entre cette géométrie et la géométrie affine :

Deux droites, deux plans, ou encore une droite et un plan sont parallèles lorsque leur intersection est impropre.

Cette définition du parallélisme est affirmative et non pas négative comme celle d'Euclide :

Deux droites sont parallèles lorsqu'elles sont coplanaires^[17] et sans intersection.

Ainsi la géométrie projective devient géométrie affine par l'élimination de ces éléments impropres. Cette suppression de points crèe la notion de parallélisme puisque désormais certaines paires de droites coplanaires cessent d'intersecter. Le point impropre supprimé est assimilable à la direction ces droites. De plus, deux points ne définissent plus qu'un segment (celui des deux qui ne contient pas le point impropre) et rend familière la notion de sens ou orientation (c'est à dire, cela permet de distinguer de ^[18]).

Cette géométrie affine plane est assimilable à celle du té à tête fixe ^[19].

Enfin, si la géométrie affine est trop rudimentaire pour être qualifiée de géométrie euclidienne, elle n'est pas non-euclidienne car l'on établit aisément la propriété caractéristique de la géométrie euclidienne :

Par un point extérieur à une droite, il passe toujours une parallèle à cette droite, et une seule.

[modifier] Géométrie euclidienne et non-euclidiennes

Le moyen le plus connu de différentier ces géométries repose sur la sommation des angles du triangle. Mais le plus simple (car il ne recourt, ni à la métrique, ni même à la congruence) repose sur le nombre de parallèles à une droite et passant point extérieur à cette droite.

[modifier] Un aperçu de la géométrie d'Euclide

Pour définir ce qu'il conviendrait d'appeler une géométrie, les points doivent obéir à un ensemble de règles :

Un segment de droite peut être tracé en joignant deux points quelconques.

Un segment de droite peut être prolongé indéfiniment en une ligne droite.

Ces deux axiomes constitue, en quelques sortes Ce second axiome introduit de manière sous-jacente la notion de translation. De la même manière, la rotation est en filigrane dans l'axiome 3 :

Étant donné un segment de droite quelconque, un cercle peut être tracé en prenant ce segment comme rayon et l'une de ses extrémités comme centre.

Tous les angles droits sont congruents

[modifier] Géométrie euclidienne

Les quatre axiomes précédent forme un tronc commun aux géométries euclidienne et non-euclidienne. Ce cinquième axiome ou « postulat de parallèles » fonde la géométrie euclidienne :

Par un point extérieur à une droite, il passe toujours une parallèle à cette droite, et une seule.

Si deux lignes sont sécantes avec une troisième de telle façon que la somme des angles intérieurs d'un côté est inférieure à deux angles droits, alors ces deux lignes sont forcément sécantes de ce côté.

Notons que si on somme des angles, ils ne sont pas pour autant mesurables. Les angles sont seulement comparables.

Voir Axiomes de Hilbert#La base axiomatique ou Éléments d'Euclide pour des énoncés plus rigoureux en géométrie euclidienne.

[modifier] Géométrie non-euclidienne

[modifier] Géométrie hyperbolique (ou lobatchevskienne)

Par un point extérieur à une droite, il passe toujours un infinité de parallèle à cette droite.

Du point de vue arguésien, cela consiste à attribuer les points impropres à la conique.

Axiomatique :

Deux point distincts déterminent une droite et trois points non alignés, un plan.

L'axiome suivant rompt avec la dualité (donc, avec la géométrie projective) :

Dans le plan déterminé par une droite et un point, par celui-ci, il passe au moins deux droites qui ne coupent pas la droite donnée.

Deux droites ou deux plans qui se coupent déterminent un faisceau de droites ou de plans ; trois droites ou trois plans qui ont un unique point commun déterminent une gerbe, et dans une gerbe deux éléments déterminent un faisceau.

[modifier] Géométrie elliptique (ou riemannienne)

Par un point extérieur à une droite, il ne passe aucune parallèle à cette droite.

Du point de vue arguésien, cela consiste en l'absence de points impropres. Il n'y a donc d'axiome du parallélisme. Il s'agit d'une géométrie projective complétée des axiomes de congruence de la géométrie de l'empan.

La géométrie riemannienne plane est la géométrie de la sphère (ou géométrie sphérique).

[modifier] Géométrie analytique

En géométrie analytique, on dispose des notions de dimensions et de mesures des angles et des distances (métrique). Mais on dispose en premier lieu des nombres, et le premier principe est

L'ensemble des nombres réels forme une droite.

En fait, toute droite est assimilable à une représentation (une image) de l'ensemble des réelles. Ainsi, pour un point O et un vecteur donnés, une droite se définit par pour un point O et un vecteur donnés. Selon un point de vue inverse, le géomètre peut considérer que l'ensemble des réelles a été conçu à l'image de la droite ; c'est à dire, comme une complétion de l'ensemble des nombres afin de parvenir à un continuum.

La notion de dimension finie^[20] et entière^[21] est fondée sur celle de produit d'ensembles. Ce qui fait qu'un point se décompose naturellement en plusieurs coordonnées. Ces deux principes fondateurs de la géométrie analytique ont permis de définir les notions de vecteur, de produit scalaires, de norme. Ils permettent de baser la congruence (de segments ou d'angles) sur la mesure ; puis de métrique : la norme euclidienne.

Le plan euclidien est alors caractérisé par

La somme (des valeurs) des angles intérieurs d'un triangle est π.

[modifier] La métrique

L'inégalité triangulaire de la norme.

Toutefois l'on peut considérer que la géométrie analytique est née de développements mathématiques (analytiques) étrangers à la géométrie (désormais appelée « géométrie synthéthique »); mais dont le fruit est apparu conforme à la géométrie euclidienne. En particulier La géom^[22].

[modifier] L'algèbre linéaire

« La géométrie affine et la géométrie du vecteur ? C'est du pareil au même, à un point près. » — STyx

L'algèbre linéaire appliqué à la géométrie, a donné naissance à la géométrie affine et la géométrie vectorielle^[23]. On passe de l'une à l'autre par le simple choix d'un point que l'on nomme « origine ». Notons que l'écriture est à la fois affine et vectorielle ; ce qui montre que ces géométries se confondent.

Ces géométries n'en sont pas à proprement parler, il faut plutôt d'un moyen pratique de faire de la géométrie appliquée. Elles donnent une définition simple et opérationnelle de la droite, et permettent de résoudre plus efficacement les problèmes de géométrie euclidienne élémentaire grâce au calcul trigonométrique.

En outre, l'algèbre linéaire a permis de passer à la géométrie multidimensionnelle sans efforts^[24].

[modifier] Programme d'Erlangen

Le programme d'Erlangen est l'œuvre de Klein qui développa l'approche généralisatrice de la géométrie projective dévelloppée ici. Toutefois, son approche consistait plus particulièrement à aborder la géométrie au travers de la théorie des groupes. Ainsi, l'on fait passer les opérateurs : translations, rotations, projections, ... avant les objets : point, droite, plan, ...

Il ne s'agit donc pas d'une discipline ; mais d'un travail de synthèse, qui a permis une vision claire des particularités de chaque géométrie. Ce programme caractérise donc plus la géométrie qu'il ne la fonde.

[modifier] Géométrie différentielle

La découverte de géométries non-euclidiennes ; mais surtout la topologie ont donnés naissance à une forme de géométrie nouvelle et novatrice : la géométrie riemannienne ou plus généralement la géométrie différentielle.

En géométrie riemannienne, la notion de variété se substitue à celle d'espace géométrique. Cependant, les variétés riemanniennes s'immergent dans des espaces euclidiens de dimensions supérieures. Les droites de la variété sont alors courbes dans l'espace euclidien et c'est pourquoi le terme de droite est remplacé par celui de géodésique.

De plus, La topologie a apportée de nombreuses notions totalement nouvelles : surface orientée, pôle.

L'utilisation de cette nouvelle géométrie en physique n'est désormais plus à des fins quantitatives (mesure des terrains) ; mais qualitatives (structure de l'Univers).

[modifier] En vrac

[modifier] Groupes de transformations géométriques

Une transformation est une correspondance les éléments de deux figures F et G, permettant de passer de l'une à l'autre. Les projections, les déplacements, les symétries sont des transformations.

Lorsqu'à un élément de la première figure correspond un élément de la seconde, la transformation est dite univoque ; dans le cas contraire, elle est multivoque. Par exemple, si la projection est univoque, l'opération inverse est multivoque. Si une transformation est son inverse sont univoques, chacune d'elles, est dite biunivoque.

Une transformation biunivoque qui laisse invariante une figure est homolocale. Une transformation homolocale identique à son inverse est involutive.

L'application successive de deux transformations (appelé composition) est une transformation (lorsque deux transformations sont composables).

Ainsi, muni de cette opération de composition, une collection de transformations géométriques (composables) est susceptible de former un groupe. Le programme d'Erlangen a consisté à recenser ces groupes de transformations pour chaque géométrie.

[modifier] Géométrie de l'empan

La géométrie de l'empan est un raccourci pour désigner la géométrie du transporteur de segment développée par Hilbert. L'empan est ici un unique segment de droite (un étalon) librement déplaçable et qui permet de construire de segments congruents. Matériellement, c'est une règle à deux graduations.

En géométrie affine a été introduite la congruence affine de deux segments parallèles et en géométrie de l'équerre la congruence isocèle. La congruence de l'empan contient ces deux types de congruences.

La géométrie de l'empan est donc affine. Elle permet également de construire le bissection des angles, et de mener par un point quelconque la perpendiculaire à une droite donnée. En revanche, l'empan (comme l'équerre) permet la construction par points d'un cercle, mais non son tracé continu. Il ne permet pas non plus la multisection de l'angle.

La géométrie de l'empan complète les géométries affines par des axiomes de congruence compatibles qui portent sur les segments, les angles et les triangles. Le signe de la congruence est couramment employé est ≡ :

Soient A et B deux points d'une droite, A' un point de cette droite ou d'une autre. Sur la droite contenant A' , on peut trouver un point B' , tel que les segments AB et A'B' soient congruents. De plus AB ≡ AB et AB ≡ BA.

La congruence est transitive.

Soient AB et BC d'une part, A'B' et B'C' d'autre part, deux paires de segments appartenant chacun à une droite et chacune sans points communs. Si AB ≡ A'B' et BC ≡ B'C' alors AC≡A'C'.

Dans un plan p, soit un angle (hk) et, dans un plan p', considérons une droite a' , et l'un de ses côtés ; appelons h' une demi-droite portée par a' et O' son origine. Dans p' il existe une unique demi-droite k' d'origine O' telle que les angles (hk) et (h'k') soient congruents et situés du côté choisi de a' . De plus (hk) ≡ (hk) et (hk) ≡ (kh).

Soient ABC et A'B'C' deux triangles tels que AB ≡ A'B' et AC ≡ A'C'  ; si les angles BAC et B'A'C' sont congruents, alors il en est de même des angles ABC et A'B'C' d'une part, et des angles ACB et A'C'B' d'autre part.

[modifier] Géométrie du compas

Notons d'abord que, mis à part pour le tracé continu d'une droite, l'on a montré^[25] que l'utilisation de la règle n'apportait aucune aide supplémentaire à la résolution au compas de problèmes.

Le géométrie du compas est plus puissante que celle de l'empan. Elle permet de plus, de construire un triangle pour un angle et deux longueurs donnés, et de résoudre tout problème géométrique dont le correspondant algébrique conduit à des équations quadratiques.

Cependant, la trisection de l'angle, la quadrature du cercle (calcul de π), la duplication du cube (calcul de ), ne sont pas solubles au compas en un nombre fini d'opérations.

La géométrie de la régle et du compas est la géométrie euclidienne.

[modifier] Formule de Laguerre

La formule de Laguerre lie le birapport et l'angle.

[modifier] Géométrie cayleyenne

La géométrie cayleyenne est né de la recherche d'une géométrie métrique qui, contrairement à la congruence en géométrie arguésienne, satisfassent à la dualité. Il faut pour cela s'affranchir des contraintes du parallélisme arguésien. La géométrie cayleyenne est une géométrie mètrique qui prolonge la géométrie projective. La mesure des segments et des angles est basé sur le birapport.

La géométrie cayleyenne contient comme cas particulier la géométrie euclidienne. Il faut pour cela qu'une droite de chaque plan qui dans l'espace cayleyen joue un rôle exceptionnel soit confondue avec la droite impropre.

[modifier] Métrique cayleyenne

Sur une forme de première espèce, choisissons une paire d'éléments J et K que nous appellerons l'absolu de cette forme. Soient A et B deux éléments quelconques de cette forme. La mesure cayleyenne des segment projectifs AB, ou distance cayleyenne AB, relative à l'absolu JK et à la constante m est le nombre δ(AB)= m log(ABJK) où (ABJK) est le birapport des quatres éléments. Notons que si A ou B est confondu avec J ou K, la mesure δ(AB) est infinie. Les éléments sont dits à l'infini ou impropres. Cette propriété fait apparaître une différence fondamentale avec la géométrie arguésienne, où une droite ne porte qu'un point impropre.

Des propriétés (ABJK)(BAJK)=1 et (ABJK)(BCJK)(CAJK)=1, on déduit δ(AB)=-δ(BA) et δ(AB)+δ(BC)=δ(AC). Ainsi, la relation de Chasles est satisfaite ; la métrique est donc géométrique.

En "jouant" sur les deux éléments absolus J et K, l'on peut construire trois métriques hyperbolique, elliptique, parabolique.

[modifier] Géométrie multidimensionnelle

La géométrie multidimensionnelle définit les espaces linéaires de dimension n (n entier naturel). Les éléments d'un espace linéaire sont eux-mêmes des (sous)-espaces linéaires de dimension inférieure.

Pour un espace de dimension n :

Dans un espace linéaire à p dimensions, il y a au moins p+1 points non continus dans un espace linéaire à p-1 dimensions.

Un simplexe à p+1 points détermine un espace à p dimensions.

Un simplexe à p+1 points appartenant tous à un espace à p dimensions détermine cet espace.

Un simplexe à k points appartenant à un espace linéaire à p dimensions (k ≤ p) détermine un espace linéaire dont tous les points appartiennent à l'espace à p dimensions considéré (détermine donc un sous-espace).

Il existe au moins un simplexe de n+1 points.

Soient deux espaces linéaires à p et q dimensions. Si p + q - n ≥ 0 , ces deux espaces ont en commun un espace linéaire à p + q - n dimensions.

On complète cette axiomatique par les axiomes d'ordre et de continuité de la géométrie projective et les axiomes de congruence de la géométrie de l'empan. Ce tout forme la base axiomatique de la géométrie de l'algèbre linéaire qui nous est familière.

Soit un simplexe de m droites d₁, d₂,.., d_m issues du point O ; elles déterminent un espace A à m dimensions. Si une droite issue de O est perpendiculaire à chacune des m droites d_j, elle est perpendiculaire à toutes les droites de l'espace A qui passent par O.

[modifier] Notes

[modifier] Références

• Paul Rossier, Géométrie synthétique moderne, Vuibert, 1961
• Jean-Paul Collette, Histoire des mathématiques, vol. 2, Vuibert, 1979 (ISBN 2-7613-0118-8), « chapitre 10 : Le renouvellement de la géométrie au XIX^e siècle. »
• Lucas Vienne, Présentation algébrique de la géométrie classique, Vuibert, 1996 (ISBN 2-7117-8838-5)

[modifier] Articles connexes

• axiomes de plans projectifs
• Éléments d'Euclide
• Programme d'Erlangen
• Axiomes de Hilbert