Fraction unitaire

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Une fraction unitaire est un nombre rationnel écrit sous la forme d'une fraction où le numérateur est 1 et le dénominateur est un entier positif. Une fraction unitaire est par conséquent l'inverse d'un entier positif, 1/n, comme par exemple : 1/1, 1/2, 1/3, 1/42 etc.

Sommaire

[modifier] Arithmétique élémentaire

Multiplier deux fractions unitaires quelconques donne pour résultat une autre fraction unitaire :

\frac1x \times \frac1y = \frac1{xy}

Par contre, additionner, soustraire, ou diviser deux fractions unitaires produit un résultat qui n'est généralement pas une fraction unitaire :

\frac1x + \frac1y = \frac{x+y}{xy}
    • 1/2 + 1/5 = 7/10
    • 1/3 + 1/6 = 1/2
\frac1x - \frac1y = \frac{y-x}{xy}
    • 1/2 - 1/5 = 3/10
    • 1/3 - 1/6 = 1/6
\frac1x \div \frac1y = \frac{y}{x}

[modifier] Arithmétique modulaire

Les fractions unitaires jouent un rôle important dans l'arithmétique modulaire, comme elles peuvent être utilisées pour réduire la division modulaire lors du calcul des PGCD. Plus précisément, supposons que nous voulons exécuter des divisions par une valeur x, modulo y. Pour effectuer la division par x, bien défini modulo y, x et y doivent être premiers entre eux. Alors, en utilisant l'algorithme d'Euclide étendu pour les PGCDs nous pouvons trouver a et b tels que

\displaystyle ax + by = 1,

à partir de quoi, on déduit que

\displaystyle ax \equiv 1 \pmod y,

ou de manière équivalente

a \equiv \frac1x \pmod y\,.

Ainsi, diviser par x (modulo y) nous avons besoin simplement à la place de multiplier par a.

[modifier] Sommes finies de fractions unitaires

N'importe quel nombre rationnel positif peut être écrit comme la somme de fractions unitaires distinctes. Par exemple :

\frac45=\frac12+\frac14+\frac1{20}=\frac13+\frac15+\frac16+\frac1{10}.

Les mathématiciens de l'Egypte ancienne utilisaient les sommes de fractions unitaires distinctes dans leur notation pour les nombres rationnels plus généraux, ainsi de telles sommes sont souvent appelées des fractions égyptiennes. De nos jours, il existe toujours un intérêt dans l'analyse des méthodes utilisées par les anciens pour choisir parmi les représentations possibles d'un nombre fractionnaire, et pour calculer avec de telles représentations. Le sujet des fractions égyptiennes a aussi à l'étude dans la théorie des nombres moderne; par exemple, la conjecture d'Erdős–Graham et la conjecture d'Erdős–Straus concernent les sommes de fractions unitaires, de même que la définition des nombres harmoniques de Ore.

Dans la théorie des groupes géométriques, les groupes de triangles sont classés en cas euclidiens, sphériques et hyperboliques selon que leurs sommes associées de fractions unitaires sont égales à un, plus grandes que un, ou plus petites que un, respectivement.

[modifier] Séries de fractions unitaires

Beaucoup de séries infinies bien connues ont des termes qui sont des fractions unitaires. Celles-ci incluent :

  • La série harmonique, la somme de toutes les fractions unitaires positives. Cette somme diverge, et ses sommes partielles
\frac11+\frac12+\frac13+\cdots+\frac1n

tend vers

log_e(n)+\gamma\, où \gamma\, représente la constante d'Euler-Mascheroni lorsque n augmente.
  • Le problème de Basel concerne la somme des carrés de fractions unitaires, lesquels convergent vers \frac{\pi^2}{6}\,
  • La série géométrique binaire, qui ajoutée à 2, est un autre exemple de série composée de fractions unitaires.

[modifier] Matrices de fractions unitaires

La matrice de Hilbert est la matrice avec les éléments

B_{i,j} = \frac1{i+j-1}\,.

Elle possède la propriété inhabituelle d'avoir tous les éléments dans sa matrice inverse sous forme de nombres entiers. De manière similaire, Richardson a défini une matrice avec les éléments

C_{i,j} = \frac1{F_{i+j-1}},

où F_i\, désigne le i-ème nombre de Fibonacci. Il appelle cette matrice la matrice Filbert, elle possède la même propriété d'avoir une matrice inverse en nombres entiers.

[modifier] Fractions unitaires en probabilités et statistiques

Dans une distribution uniforme sur un espace discret, toutes les probabilités sont des fractions unitaires égales. En raison du principe d'indifférence, les probabilités de cette forme apparaissent fréquemment dans les calculs statistiques. De plus, la loi de Zipf établit que, pour beaucoup de phénomènes observés impliquant la sélection des articles à partir d'une suite ordonnée, la probabilité que le n-ième article soit sélectionné est proportionnel à la fraction unitaire 1/n.

[modifier] Fractions unitaires en physiques

Les niveaux d'énergie du modèle de Bohr des orbites d'électrons dans un atome d'hydrogène sont proportionnels au carré de fractions unitaires, et par conséquent les niveaux d'énergie des photons qui peuvent être émis ou absorbés par un atome d'hydrogène selon ce modèle sont de manière similaire proportionnels à la différence de deux de ces fractions. On croyait, pendant un certain temps, que le nombre d'Eddington, ou la constante de la structure fine, était exactement une fraction unitaire, 1/137, mais on sait maintenant que cela est faux.