Fonction du second degré

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En mathématiques élémentaires, une fonction du second degré est une fonction définie sur \R par : f(x) = ax^2 + bx + c\, où a, b et c sont des réels (a non nul) appelés les coefficients.

ax2 est le terme du second degré, bx est le terme du premier degré et c est le terme constant.

Après les fonctions affines, les fonctions du second degré ou trinômes du second degré constituent le deuxième champ d'étude des fonctions polynômes.

Sommaire

[modifier] Forme canonique

Une fonction du second degré possède une forme réduite ou forme canonique qui permet de mettre en évidence sa relation avec la fonction carré :

f(x) = a\left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 - \frac{b^2-4ac}{4a}

On peut remarquer que f\left(\frac{-b}{2a}\right) = \frac{-b^2+4ac}{4a}

Exemple : si f(x) = 2x ^2 + 4x - 5\,, on remarque que \frac{-b}{2a} = -1 et que f(-1) = -7\, donc f(x) = 2(x + 1)^2 - 7\,

Discriminant: On appelle discriminant le nombre Δ = b2 − 4ac. On obtient alors :

f(x) = a\left[\left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 - \frac{\Delta}{4a^2}\right]

De cette forme canonique se déduisent tous les résultats concernant la fonction du second degré.

[modifier] Racines

Icône de détail Article détaillé : Équation du second degré.

On dit que r est une racine de f si f(r) = 0.

On démontre que

  • si Δ > 0 alors f possède deux racines qui sont r_1 = \frac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a} et r_2 = \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a}
  • si Δ = 0 alors f possède une racine double qui est r_0 = \frac{-b}{2a}
  • si Δ < 0 alors f ne possède pas de racine dans l'ensemble \R mais il en possède dans l'ensemble \mathbb{C}.

[modifier] Cas de la racine évidente

Soit un trinôme du second degré, tel que f(x) = ax^2 + bx + c\,.
Si a+b+c=0\, alors f\, admet au moins une racine évidente égale à 1\,.

[modifier] Opérations sur les racines

On note S\, la somme des racines, et P\, le produit des racines d'un polynome du second degré. On peut ainsi écrire:

S=\frac{-b}{a} et P=\frac{c}{a}

[modifier] Factorisation

Dans le cas où le discriminant n'est pas négatif, on peut écrire la fonction du second degré sous forme d'un produit de fonctions du premier degré.

  • si \Delta > 0\, alors f(x) = a(x - r_1)(x - r_2)\,
  • si \Delta = 0\, alors f(x) = a(x - r_0)^2\,

[modifier] Étude de signe

Icône de détail Article détaillé : Inéquation du second degré.

La factorisation précédente (ou l'absence de factorisation) permet de construire le tableau de signe de f(x)\,. En réalité, il existe 6 cas de figure selon que a\, est positif ou négatif et selon que f\, possède 2, 1 ou 0 racines. Ces six cas de figure se résument en une méthode : «Le signe de trinôme coïncide avec celui de a\,. sauf entre les racines»

[modifier] Représentation graphique

La forme canonique de la fonction f\, permet de remarquer que sa courbe représentative est l'image de la courbe d'équation y = ax^2\, par une translation de vecteur \vec u\left(\frac{-b}{2a}, f\left(\frac{-b}{2a}\right)\right).

La courbe représentative est donc toujours une parabole. Son sommet est le point S\left(\frac{-b}{2a}, f\left(\frac{-b}{2a}\right)\right) et son axe de symétrie est la droite d'équation x = \frac{-b}{2a}\,.

Les six paraboles ci-dessous illustrent les six cas de figures de l'étude de signe, selon le signe de a\, et celui de Δ. On rappelle que f\left(\frac{-b}{2a}\right) = - \frac{\Delta}{4a}\,

a > 0 a < 0
Δ < 0 Image:Parabole a pos delta nég.png
\begin{array}{|c|ccc|} \hline x & -\infty & & +\infty \\ \hline f(x) & & + & \\ \hline \end{array}		 Image:Parabole a nég delta nég.png
\begin{array}{|c|ccc|} \hline x & -\infty & & +\infty \\ \hline f(x) & & - & \\ \hline \end{array}
Δ = 0 Image:Parabole a pos delta zéro.png
\begin{array}{|c|ccccc|} \hline x & -\infty & & r_0 & & +\infty \\ \hline f(x) & & + & 0 & + & \\ \hline \end{array}		 Image:Parabole a nég delta zéro.png
\begin{array}{|c|ccccc|} \hline x & -\infty & & r_0 & & +\infty \\ \hline f(x) & & - & 0 & - & \\ \hline \end{array}
Δ > 0 Image:Parabole a pos delta pos.png
\begin{array}{|c|ccccccc|} \hline x & -\infty & & r_1 & & r_2 & & +\infty \\ \hline f(x) & & + & 0 & - & 0 & + & \\ \hline \end{array}		 Image:Parabole a nég delta pos.png
\begin{array}{|c|ccccccc|} \hline x & -\infty & & r_1 & & r_2 & & +\infty \\ \hline f(x) & & - & 0 & + & 0 & - & \\ \hline \end{array}

[modifier] Sens de variation

Enfin, on peut déduire de cette courbe le sens de variation de f\,:

  • Si a > 0\,, la fonction est décroissante puis croissante et atteint son minimum en - b/2a\, ;
  • Si a < 0\,, la fonction est croissante puis décroissante et atteint son maximum en - b/2a\,

Ce résultat est confirmé par le calcul de la dérivée de f\, qui est f'(x) = 2ax + b\,.

[modifier] Liens