Fonction affine

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En mathématiques élémentaires, une fonction affine est une fonction de la variable réelle dont la représentation graphique est une droite. C'est une fonction polynôme de degré inférieur ou égal à un. Elle est définie par:

$f: \mathbb{R}\to\mathbb{R}$

$x \mapsto f(x)= a\times x + b$ avec a et b des nombres réels fixés.

Dans l'expression ci-dessus, a et b sont des constantes et x est la variable.

La constante a est appelée coefficient directeur et b ordonnée à l'origine.

Si a est nul, alors la fonction est constante.

Si b est nul alors la fonction est linéaire et sa droite représentative passe par l'origine.

[modifier] Propriété caractéristique

Une fonction affine est caractérisée par le fait que son taux d'accroissement est constant. En effet, si $x 1$ et $x 2$ sont deux réels, l'accroissement $f (x 1) - f (x 2)$ est proportionnel à $x 1 - x 2$ :

$f(x_1) - f(x_2) = a(x_1 - x_2) \,$

Cette propriété donne alors un outil pour déterminer le coefficient $a$ :

$a = \frac{f(x_1) - f(x_2)} {x_1 - x_2}$ si

x 1 - x 2

est non nul.

Par conséquence, la dérivée d'une fonction affine est une fonction constante qui vaut le coefficient directeur de la fonction affine.

[modifier] Exemples

On rencontre quelques exemples de fonctions affines dans

les abonnements téléphoniques: le prix de l'abonnement mensuel est A et le prix d'une communication à la minute est de 0,10 euros/minute. La facture téléphonique est alors une fonction affine du nombre x de minutes de communication dans le mois.

$f(x) = A + 0,1\times x$

La longueur d'un ressort : Si au repos le ressort à une longueur $L 0$ , et si sa raideur est k, la longueur du ressort est une fonction affine de la force appliquée (loi de Hooke).

$L(f) = L_0 + \frac{f}{k}$

Dans ce cas, le coefficient directeur est $\frac{1}{k}$ et l'ordonnée à l'origine

L 0

[modifier] Représentation graphique

La représentation graphique d'une fonction affine est une droite dont l'équation est

$y = ax + b \,$

La droite coupe l'axe des ordonnées pour $y = b$ (d'où le nom : ordonnée à l'origine). Lorsque b est égal à 0, la droite passe par l'origine du repère cartésien.

La droite a pour pente ou coefficient directeur le réel $a$ . Si a>0, la fonction affine est croissante (la droite "monte"), si a<0, elle est décroissante (la droite "descend"). Par un processus analogue à celui vu pour la fonction linéaire, un déplacement de 1 carreau en abscisse induit un déplacement de a carreaux en ordonnée.