Fonction carré

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La fonction carré est la fonction qui à un nombre réel x associe son carré, noté x², soit x multiplié par lui même. Elle introduit les fonctions puissance, c'est une des plus simples d'entre elles.

Sommaire

[modifier] Propriétés

Signe
La première propriété est la positivité de la fonction. En effet quel que soit x réel, y=x\times x on a forcément deux fois le même signe à droite; donc y est supérieur ou égal 0. Et s'annule uniquement en 0.
Parité
Vient ensuite la parité de la fonction c'est-à-dire que f(x) = f( − x). En effet avec la remarque précédente (-x)\times(-x)=x\times x.

[modifier] Résolution d'équation de type x² = a

Icône de détail Article détaillé : équation du second degré.

Quand x2 = a, il y a trois cas possibles :

  • a < 0 : Aucune solution dans l'ensemble des réels R (voire solutions irréelles)
  • a = 0 : Une solution, x = 0
  • a > 0 : Deux solutions, x = \sqrt{a} ou x = -\sqrt{a}

Par exemple, si x2 = 9 alors x = 3 ou x = − 3, car 32 = ( − 3)2 = 9.

Cas de a < 0 et solutions complexes (voir l'article détaillé sur le Nombre Complexe)
Si a < 0, il n'existe aucune solution réelle, c'est à dire appartenant à R. Cependant, il existe une ou des solution(s) irréelle(s), c'est à dire complexe(s). Supposons que a = − 9. On a alors :
a = -1 \times 9
Sachant que x2 = a, on déduit ce qui suit :
x = \sqrt{-1 \times 9} = \sqrt{-1} \times \sqrt{9} = 3 \times \sqrt{-1}
Puisque \sqrt{-1} est une nombre qui n'existe pas, on le remplace par la lettre i, choisie conventionnellement comme le nombre complexe de base et qui désigne donc la racine carrée de -1. Ainsi on a :
x = 3i
De façon plus générale, pour x2 = a et avec a < 0, on a x = \sqrt{|a|} \times i.

[modifier] Dérivée

La dérivée de la fonction carré est 2x, c'est une fonction affine impaire.

[modifier] Représentation graphique

Représentation graphique de la fonction x²
Représentation graphique de la fonction x²

Dans un repère orthonormal, la fonction est représentée par une parabole dont le sommet est le point (0,0). On remarque bien que l'intégralité de la parabole se situe au-dessus de la courbe et la parité est décelable grâce à l'axe de symétrie qu'est l'axe des ordonnées.

La fonction carré étant une fonction paire, sa représentation graphique admet un axe de symétrie qui est l'axe des ordonnées.

La fonction carré a pour limite plus l'infini en plus l'infini et en moins l'infini.