Fonction de Heaviside

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La fonction H_0.5 de Heaviside.

En mathématiques, la fonction de Heaviside (également fonction échelon, fonction marche ou, par abus de traduction, fonction d'étape), du nom de Oliver Heaviside, est une fonction H discontinue prenant la valeur 0 en les réels strictement négatifs et la valeur 1 partout ailleurs :

$\forall x _in \R,\ H(x)=\left\{\begin{matrix} 0 & \mathrm{si} & x < 0 \\ 1 & \mathrm{si} & x \ge 0. \end{matrix}\right.$

C'est une primitive de la fonction δ de Dirac en théorie des distributions. La valeur de H(0) a très peu d'importance, puisque la fonction est le plus souvent utilisée dans une intégrale. Certains auteurs donnent H(0) = 0, d'autres H(0) = 1. H(0) = 0,5 est souvent utilisé, parce que la fonction obtenue est ainsi symétrique. La définition est alors :

$\forall x \in \R,\ H(x)=\left\{\begin{matrix} 0 & \mathrm{si} & x < 0 \\ \frac{1}{2} & \mathrm{si} & x = 0 \\ 1 & \mathrm{si} & x > 0. \end{matrix}\right.$

La valeur de la fonction en 0 est parfois notée avec un indice : la fonction H_0,5 satisfait l'équation H_0,5(0) = 0,5.

La fonction est utilisée dans les mathématiques du traitement du signal pour représenter un signal obtenu en fermant un interrupteur à un instant donné et en le maintenant fermé indéfiniment.