Fonction affine par morceaux

Un article de Wikipédia, l'encyclopédie libre.

Cet article fait partie de la série
Mathématiques élémentaires

Algèbre

Analyse

Géométrie

En mathématique, une fonction affine par morceaux est une fonction définie sur $\R$ ou sur un intervalle de $\R$ et possédant des expressions affines différentes selon l’intervalle où se trouve la variable x.

[modifier] Exemples

Soit f la fonction définie sur [0 ; 10] par :

f(x) = 2x si x $\in$ [0 ; 3]
f(x) = 9 - x si x $\in$ ]3 ; 7[
f(x) = x - 2 si x $\in$ [7 ; 10]

La fonction valeur absolue est une fonction affine par morceaux définie sur $\R$ par :

|x| = -x si x < 0
|x| = x si x ≥ 0

De même, la fonction définie par f(x) = |x - 3| + 2|x + 5| est une fonction affine par morceaux ainsi que la fonction $f (x) = E (x)$ = partie entière de x, non seulement affine par morceaux mais constante par morceaux.

[modifier] Représentation graphique

Représentation graphique du premier exemple

La représentation graphique d’une fonction affine par morceaux est une succession de segments de droite ou de demi-droites.

[modifier] Continuité

Un des problème posé par la construction d’un fonction affine par morceaux est la présence ou non de saut. Si les segments de droites sont jointifs, la représentation graphique forme une ligne polygonale. Une petite variation sur la variable entraine un petite variation sur f(x). C’est l’approche intuitive de ce que l’on appelle en mathématique la continuité.

Exemple : la première fonction donnée était définie par :

f(x) = 2x si x $\in$ [0 ; 3]
f(x) = 9 - x si x $\in$ ]3 ; 7[
f(x) = x - 2 si x $\in$ [7 ; 10]

Elle est bien continue en 3 car, si x s’approche de 3 en restant inférieur à 3, alors la valeur de f(x) s’approche de 6 $(= 2 \times 3$ ) et quand x s’approche de 3 par valeur supérieure la valeur de f(x) s’approche de 6 (= 9 - 3).

En revanche, elle n’est pas continue en 7, car si x s’approche de 7 en restant inférieur à 7, alors f(x) s’approche de 2, tandis que si x s’approche de 7 en restant supérieur à 7, alors f(x) s’approche de 5.

[modifier] Un exemple : la courbe d’imposition

Cet exemple est tiré de l'impôt sur le revenu des personnes physiques en France en 2006 qui donne le montant de l’impôt en fonction du quotient familial (revenu annuel après déduction divisé par nombre de part). Pour simplifier, on prendra comme exemple un célibataire (nombre de part = 1). Si le revenu est R, alors l'impôt I est calculé par :

Impots en fonction du revenu imposable - Unités milliers d'euros

si R < 4412 alors I = 0
si R $\in$ [4412 ; 8677] alors I = R × 0,0683 - 301,84
si R $\in$ ]8677 ; 15274] alors I = R × 0,1914 - 1369,48
si R $\in$ ]15274 ; 24731] alors I = R × 0,2826 - 2762,47
si R $\in$ ]24731 ; 40241] alors I = R × 0,3738 - 5017,93
si R $\in$ ]40241 ; 49624] alors I = R × 0,4262 - 7126,56
si R > 49624 alors I = R × 0,4809 - 9841

Ceci représente une fonction affine par morceaux. Changer de tranche, c'est changer de fonction affine. Le taux d'imposition y est plus élevé. Est-ce pour autant que le changement entraine un saut significatif dans l'impôt ?

Un rapide calcul pour un revenu de 15273 et un revenu de 15275 euros (changement de tranche) donne, pour le premier cas, un impôt de 1553,77 euros et, dans le second cas, un impôt de 1554,25 euros soit moins de 48 centimes d'euros pour une augmentation de revenu de 2 euros. Il n'y a donc pas de saut, la fonction I est continue. On peut vérifier cette propriété pour le passage de chaque tranche. C'est l'objectif de la constante soustractive ajoutée dans chaque fonction affine. L'impression subjective de discontinuité provient du fait que le taux change brusquement : la pente de la droite change brusquement créant un point anguleux. On dit que la fonction n'est pas dérivable.

Une deuxième idée couramment répandue est que le saut de tranche peut entraîner une perte de revenu réel. Si le revenu réel correspond au revenu après déduction auquel on ôte les impôts on aurait R' = R - I R' reste une fonction continue de $\R$ . C'est de nouveau une fonction affine par morceaux dont l'expression est :

Si R < 4412 alors I = 0
Si R $\in$ [4412 ; 8677] alors R' = R × 0,9317 + 301,84
Si R $\in$ ]8677 ; 15274] alors R' = R × 0,8086 + 1369,48
Si R $\in$ ]15274 ; 24731] alors R' = R × 0,7174 + 2762,47
Si R $\in$ ]24731 ; 40241] alors R' = R × 0,6262 + 5017,93
Si R $\in$ ]40241 ; 49624] alors R' = R × 0,5738 + 7126,56
Si R > 49624 alors R' = R × 0,5191 + 9841

Les pentes de tous les segments de droites ou demi-droites sont positives et la fonction R' est continue donc elle est aussi une fonction croissante : plus on gagne d'argent, plus il en reste après impôts.