Exposant d'un groupe

Un article de Wikipédia, l'encyclopédie libre.

L'exposant d'un groupe est une notion mathématiques et plus précisément d'algèbre, en théorie des groupes.

Elle est utilisée surtout pour les groupe abélien finis, par exemple pour la démonstration du théorème de Kronecker. Elle correspond à une hypothèse du problème de Burnside, on la trouve donc dans le théorème de Burnside associé.

Sommaire

1 Définition
2 Propriétés
3 Références
- 3.1 Liens externes
- 3.2 Références

[modifier] Définition

Soit G un groupe, on appelle exposant de G le plus petit commun multiple des ordres des éléments du groupe s'il existe.

L'ordre d'un élément g du groupe désigne, s'il existe, le plus petit entier strictement positif n vérifiant gⁿ = 1 où 1 désigne l'unité du groupe.

Dans le cas d'un groupe contenant un élément d'un ordre infini ou si le plus petit commun multiple n'existe pas, ce qui ne se produit que dans le cas d'un groupe d'ordre infini, on dit que l'exposant n'est pas fini.

[modifier] Propriétés

L'exposant d'un groupe fini est nécessairement inférieur ou égal à l'ordre du groupe. En effet, l'ordre du groupe est un multiple de chacun des ordres des éléments du groupe d'après le théorème de Lagrange. Dans le cas où le groupe est en plus abélien, une propriété plus forte existe:

Tout groupe abélien fini contient au moins un élément dont l'ordre est égal à l'exposant.

Démonstration

Soit $θ$ l'exposant d'un groupe fini abélien G. Considérons alors la décomposition du théorème fondamental de l'arithmétique de l'exposant:

$\theta = \prod_{i=1}^k p_i^{\alpha_i}$

Où p_i désigne des nombres premiers et $α$ _i des entiers strictement positifs.

Il existe au moins un élément a_i d'ordre $p_i^{\alpha_i}$ .

Il existe au moins un élément b_i ayant un ordre multiple de $p_i^{\alpha_i}$ sinon ce facteur ne serait pas membre de la décomposition de θ en facteurs premiers. Il existe donc un entier m_i tel que $m_i.p_i^{\alpha_i}$ soit l'ordre de b_i. Si a_i est égal à ${b_i}^{m_i}$ , alors a_i est d'ordre $p_i^{\alpha_i}$ .

Il existe un moins un élément g d'ordre l'exposant du groupe.

Tous les ordres des éléments a_i sont premiers entre eux par construction. Le théorème chinois montre alors que le produit g des a_i a pour ordre le produit des ordres des a_i. On en conclut que l'ordre de g est l'exposant du groupe.