Théorème de Kronecker

Existence de la décomposition

I) Pour tout groupe abélien fini généré par une famille B ne contenant qu'un seul élément, il est possible de construire le projecteur φ.

Il suffit de définir φ comme égal à l'identité. φ est un projecteur dont le noyau est réduit à l'élément neutre.

II) Supposons qu'il soit possible de construire un projecteur φ sur le groupe cyclique C₁ pour tout groupe ayant une famille B de cardinal p - 1. Alors ce résultat est aussi vrai pour tout groupe G ayant une famille B de cardinal p.

Notons (g₁,g₂,...,g_p) la famille B de G. Alors si G' est le groupe engendré par les éléments (g₁,g₂,...,g_{p - 1}), il vérifie l'hypothèse de récurrence. Il existe donc un projecteur φ' défini sur G' dont l'image est égale à C₁.

II) 1) Construction de φ:

Notons m l'ordre de g_p. L'intersection H du sous-groupe <g_p> et de G' est un groupe cyclique car c'est un sous-groupe du groupe cyclique <g_p>. Soit u son ordre, u divise m d'après le théorème de Lagrange. Notons v l'entier défini par u.v = m. L'élément v.g_p est un générateur de H (cf troisième propriété du paragraphe Théorème fondamental des groupes cycliques).

L'élément v.g_p est un membre de H, or l'application φ' est définie sur H, il existe donc un entier t tel que:

v.u.g_p est égal à 0 car u.v est l'ordre de g_p. Donc u.t.g₁ est aussi égal à 0 ce qui montre que u.t est un multiple de θ. Il existe donc un entier w tel que:

u.v est l'ordre de g_p, un élément du groupe G. L'ordre de tout élément de G divise θ par définition de l'exposant d'un groupe. En conclusion il existe un entier x tel que x.u.v soit égal à θ. En remplaçant θ par sa valeur dans l'égalité (i) on obtient:

On définit alors φ par l'égalité suivante:

II) 2) L'application φ est bien le projecteur recherché :

Si G est bien la somme de G' et <g_p>, en revanche cette somme n'est pas nécessairement directe. Il existe donc plusieurs écritures potentielles d'un élément de G. Il convient de vérifier que toute écriture d'un même élément de G possède la même image par φ.

Soit g + n .g_p et g' + n' .g_p deux écritures d'un même élément du groupe G. Alors g - g' est à la fois un élément de G' et de <g_p> car il est égal à (n' -n). g_p. Cela démontre l'existence d'un entier l tel que g = g' + l.v.g_p et l.v = n' - n.

φ est un endomorphisme de G, en effet :

Enfin, par construction de φ, l'image de φ est égal à C₁ et la restriction de φ à son image est l'identité. L'application φ est un projecteur d'image C₁. en conclusion G est somme directe de C₁ et du noyau de φ.

III) Démonstration du théorème par récurrence sur le cardinal de G.

Si G est d'ordre 1. Le théorème est évident.

Supposons le théorème démontré pour tous les groupes abéliens finis d'ordre strictement inférieur à n. Soit G un groupe abélien fini d'ordre n. Alors il existe un projecteur sur un groupe cyclique d'ordre l'exposant de G. G est donc somme directe du groupe cyclique et du noyau K du projecteur.

L'hypothèse de récurrence montre que K est somme directe d'une suite de sous-groupes cycliques C₂,...,C_k tel que si i est un entier compris entre 2 et k - 1, alors l'ordre de C_i+1 divise l'ordre de C_i. De plus l'ordre de C₂ divise l'ordre de C₁ qui est égal à l'ordre de l'exposant de G, car l'ordre de tout élément de G divise l'exposant de G.

L'analyse de la somme directe de la suite de sous-groupes C₁, C₂,...,C_k démontre alors le théorème.

Unicité de la décomposition :

• Si la suite (a₁,a₂,...,a_k) est choisie de tel sorte que a_i+1 divise a_i pour tout i est un entier entre 1 et k - 1, alors la suite est unique.

L'existence est donnée par la démonstration précédente. Prouvons l'unicité par une récurrence sur k.

I) Si k est égal à 1:

Le groupe est cyclique et a₁ est égal à l'ordre du groupe, ce qui démontre la proposition.

II) Si la propriété est vraie à l'ordre p - 1, alors elle est vraie à l'ordre p.

Soit G un groupe décomposable en un produit de p cycles et une suite (a₁,a₂,...,a_p), vérifiant les propriétés de l'hypothèse. Alors a₁ est égal à l'exposant du groupe, il est donc unique. Soit C_i le groupe cyclique d'ordre a_i. Le produit K des p - 1 derniers groupes C_i est isomorphe au quotient G / C₁ et est donc aussi unique. Par hypothèse de récurrence, K admet une suite unique de facteurs invariants, les valeurs (a₂,a₃,...,a_p) sont donc uniques. Il suffit alors de vérifier que a₂ divise a₁. Pour cela remarquons que a₂ est l'exposant d'un sous-groupe de G et donc divise l'exposant du groupe. Et la proposition est démontrée.