Discuter:Espace euclidien/Archive 1

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Nombre de considérations de cet article n'ont strictement rien à voir avec le caractère euclidien d'un espace vectoriel ou affine et devraient être supprimées ou déplacées dans d'autres articles (par exemple sur l'irrationnalité). Par ailleurs, de nombreuses phrases pourraient gagner notablement en concision, en évitant les répétitions d'arguments identiques ou proches. Pour dire le fond de ma pensée, je pense que la totalité de l'article devrait être reprise, celui-ci n'ayant que peu de rapport avec une présentation moderne des espaces euclidiens. A titre d'exemple, on ne définit pas un produit scalaire à partir d'une base orthonormée... qu'on serait bien en mal de définir sans produit scalaire !! Theon 2 avril 2006 à 21:23 (CEST)

Remise en forme effectuée. Theon 7 avril 2006 à 18:21 (CEST)

Sommaire

[modifier] Ajout d'un paragraphe d'histoire

J'ai ajouté un paragraphe d'histoire. L'ancien me semble maintenant faire doublon. Par sécurité, j'ai recopié l'ancien dans mon brouillon. Un revert sur ma modification est donc aisé. il est encore incomplet car je ne parle pas du programme d'Erlangen, et du rapport de Klein et d'Hilbert. Jean-Luc W 30 avril 2006 à 14:10 (CEST)

[modifier] Restructuration de Espace euclidien

Le texte traite maintenant uniquement du sujet euclidien, mais il n'est pas amha complet. La problématique logique de Hilbert est bien abordé, mais c'est devenu, l'angle principal d'analyse, il n'y trouve pas la géométrie du triangle, peu les raisons du passage à une nouvelle axiomatique, et le Veme postulat n'est pas intégralement traité.

Je propose la restructuration de l'article suivant le plan suivant:

  • 1 Histoire
  • 2 Espace euclidien et formalisation antique:
2.1 Applications géométrie du triangle, la modélisation de l'espace en physique
2.2 Résumé de l'approche géométrique classique
  • 3 Espace euclidien et produit scalaire
3.1 Applications
3.2 Equivalence on admet l'existence d'un groupe d'isométries et les résultats du Programme d'Erlangen sans entrer dans les détails
3.3 Propriétés, qui pointent essentiellement sur les articles concernées
  • 4 La logique contient ton topo sur les corps rigides et l'apport de Hilbert en pointant sur les articles concernés
  • 5 Les généralisations
5.1 Applications
5.2 Les éléments remis en cause Ve postulat mais aussi d'autres implicites comme l'aspect archimédien en reprenant ton texte.

[modifier] Une analyse de la construction logique des élements

une analyse en deux paragraphes Angles et longueurs chez Euclide et Egalité des figures et rigidité des corps. J'ai déplacé ces deux articles dans Axiomes de Hilbert. Bien qu'ils soient excellents, ils ne traitent pas de l'intégralité de la problématique (par exemple il ne parle par exemple de complétude, ni du 21eme axiome de Hilbert). Or une fois l'intégralité traité ils sont amha trop riches et trop long sur l'article Espace euclidien. Le nouvel article sur les axiomes de Hilbert traite alors hexaustivement les faiblesses de la formalisation d'Euclide et présente celle de Hilbert. Jean-Luc W 4 mai 2006 à 11:12 (CEST)

[modifier] Première phase de lecture de Peps 8/5/2006

Salut, même sans orage j'aurais eu du mal à lire l'ensemble ; j'ai lu - en diagonale pour l'instant- jusqu'à 3.3. Quelques remarques en vrac

L'article vise un sujet accessible à un plus grand public que déterminant, il faudra en tenir compte dans nos commentaires. Les remarques sur le nom géométrie euclidienne sont sans doute fondées, prendre ce nom rend mieux compte de l'ampleur des thèmes couverts. L'article actuel géométrie euclidienne sera englobé dans ton discours.

Je regrette que tu m'aies exposé ta démarche avant, car cela perturbe un peu la lecture. J'ai l'impression en effet que si la démarche est claire pour un spécialiste, elle ne l'est pas du tout pour le profane. Je pense qu'il faut répéter fortement, à chaque stade de l'article dans quel cadre on se place, puisque tout est affaire de nuance

Voilà quelques noisettes à grignoter. Merci Peps. Comptes tu passer les variétés en AdQ? Jean-Luc W 9 mai 2006 à 10:30 (CEST)

[modifier] Modifications et commentaires du 09/05

Pour conclure, je compte aussi incorporer les sugestions de Peps, il indique par exemple qu'expliquer qu'il est indémontrable qu'une rotation laisse invariant la distance est trop abstrait pour un vaste public, il propose de transformer l'exemple par celui de Pash: Si une droite entre dans un triangle, alors elle ressortira nécessairement. Dès que j'ai ton accord, je me lance dans cette série de modif. Merci infiniment, ton intervention amène à mes yeux beaucoup plus de clarté. Jean-Luc W 10 mai 2006 à 09:52 (CEST)

Cette remarque me paraît judicieuse, et j'attends de voir tes modifs.Salle 10 mai 2006 à 15:09 (CEST)

[modifier] Le 10/05

J'avais un petit regret hier : l'article semble réduire la formalisation linéaire de la géométrie euclidienne à la notion de produit scalaire ; ce qui pouvait se justifier pour un article Espace euclidien, mais qui je crois, ne convient pas à l'article tel qu'il est. Voilà comment je vois les choses, et qui justifie mes deux modif d'aujourd'hui. On veut faire une formalisation linéaire de l'axiomatique d'Euclide (je propose au passage de remplacer systématiquement le mot formalisation par le mot modélisation qui me semble plus approprié, je demande des avis sur la question - l'argument étant qu'avec une axiomatique seule, on ne sait pas si les choses dont on parle existent, donc on cherche un autre domaine mathématique où apparaissent naturellement des objets qui vérifient précisément ces axiomes ; pour moi, on a trouvé un modèle pour notre axiomatique ; formaliser, ce serait plutôt un travail du type de celui d'Hilbert); on veut faire une modélisation linéaire de l'axiomatique d'Euclide ; il y a deux temps : espaces vectoriels et affines, qui donnent des droites, etc..., c'est-à-dire la règle ; puis produit scalaire qui permet de mesurer, etc..., le compas. Premier point de passage : y a-t-il accord sur ce point? Dans le cas favorable, je continue en disant que décrire uniquement le formalisme produit scalaire devient un peu arbitraire dans cet article. Bon, on peut certes faire ce choix arbitrairement et le dire ; deux autres solutions : décrire aussi formellement la notion d'espace vectoriel et/ou affine ; ou bien abandonner l'essai de formalisation du produit scalaire pour cet article. Je serais assez favorable à ce dernier choix, qui se traduirait pour moi par l'abandon du parag 3.4, et de la boîte déroulante du parag 3.3. On aurait ainsi un article plus court (il me semble que tous les articles sur lesquel un gros travail est fait, du type Déterminant, Valeurs propres, etc..., ont comme principal, voire seul, défaut, cette tendance à enfler, qui se justifie par la richesse de leur matière, mais risque de les rendre d'abord plus difficile), ou le choix de ne pas faire de vraies maths serait clair et assumé ; et les vraies maths pourraient être dans des articles détaillées. Salle 10 mai 2006 à 14:48 (CEST)

[modifier] Le périmètre de l'article

[modifier] Opinion de Salle

Comme dit sur la page de discussion de Jean-Luc W, il me semble que cet article traite plus de l'évolution de la conception de la géométrie à partir des travaux d'Euclide que des espaces euclidiens ; c'est une matière extrêmement intéressante à mon sens et qui mérite un regroupement dans l'esprit de ce que l'article propose ; c'est-à-dire, je pense qu'il ne faut pas se contenter d'éparpiller sur les articles Géométrie non euclidienne, Construction à la règle et au compas, Programme d'Erlangen, Axiomes de Hilbert, mais bien admettre la nécessité d'un article qui fasse un survol historique et épistomologique du corpus, en entrant assez dans les détails pour que les enchaînements et les nuances d'idées soient compréhensibles ; en renvoyant ensuite aux articles plus spécialisés. On peut imaginer ensuite que le lecteur intéressé fera des allers-retours entre l'article de base et les articles détaillés. Je renvoie au commentaire ci-dessus pour la question du contenu mathématique (par opposition à historique et épistémologique) pour ce qui concerne les espaces euclidiens.

Mais il faudrait aussi un article géométrie euclidienne qui traiterait du contenu mathématique dans l'esprit d'Euclide (sans se préoccuper de formalisme etc...). L'article Géométrie euclidienne est une ébauche dans ce sens. La question est : comment coordonner les deux? Peut-être incorporer l'article à la Euclide dans le projet mathématiques élémentaires? Et faire de l'actuel article espace euclidien une sorte de portail, avec contenu historique, sous le titre Géométrie euclidienne?Salle 10 mai 2006 à 17:40 (CEST)

[modifier] Opinion de HB

J'ai de mon côté pas mal réfléchi à la proposition de Salle. Transformer cet article en "géométrie euclidienne" et refaire un article technique sur espace euclidien. Il propose aussi de déplacer l'actuel article géométrie euclidienne dans géométrie euclidienne (mathématiques élémentaires). Cette idée me tente assez puisque la première critique que je fais à l'article actuel est de ne pas répondre explicitement à la question: qu'est-ce qu'un espace euclidien. je verrais donc bien

  • Un article géométrie euclidienne qui reprendrait les idées développées dans cet article, en évitant les redites et les digressions (deux de mes reproches actuels) pour le maintenir à une taille raisonnable. On pourrait le décliner en géométrie euclidienne selon Euclide, géométrie euclidienne selon le produit scalaire, Géométrie euclidienne dans le programme Erlangen, L'echec de la géométrie euclidienne (naissance des géométrie non euclidienne), la géométrie euclidienne selon Riemann. Reste que le présent article après m'avoir grandement instruit me laisse avec des questions sans réponse : qui a eu l'idée de remplacer l'espace euclidien (avec distance et angle) par un espace avec produit scalaire? Comment s'insère la géometrie euclidienne dans le programme Erlangen ? Pourquoi diable Hilbert a-t-il éprouvé le besoin de donner une nouvelle définition de l'espace euclidien alors que l'espace avec produit scalaire était pleinement satisfaisant et ne nécessitait pas 20 axiomes ?
  • L'article espace euclidien préciserait en introduction que la définition actuelle est le résultat de 2000 ans de réflexion et renverrait sur géométrie euclidienne. Il parlerait des espaces vectorielles euclidiens sur R , de la norme associée, du cas de la dimension finie, il parlerait des espace affines euclidien, préciserait la distance et l'angle (en dimension finie et infinie) donnerait des exemples d'applications et terminerait sur une ouverture vers les espaces hermitiens
  • La création d'un article géométrie euclidienne (mathématiques élémentaires) ne me parait pas indispensable. D'une part nos élèves ne savent pas ou plus qu'ils travaillent sur un espace défini par les axiomes d'Euclide et, si le chapitre la géométrie Euclidienne selon Euclide est traité simplement, il peut servir d'accroche pour le lecteur néophyte.

Je propose d'autre part que la suite de la discussion se fasse sur la page de discussion de l'article géométrie euclidienne ou de l'article espace euclidien. Je laisse le soin à Jean-Luc de transférer les portions de sa page de discussion qu'il juge apte à alimenter le débat sur l'une ou l'autre page. HB 11 mai 2006 à 18:31 (CEST)

[modifier] Histoire

[modifier] Opinion de HB

  • Le chapitre sur Euclide par exemple, me semble complètement hors sujet (à mettre dans la biographie d'Euclide ou en intro des éléments d'euclide). j'aurais d'avantage attendu là la définition axiomatique de l'espace euclidien, surtout avec le pb du cinquième postulat (rem, je l'ai trouvé plus loin donc il ne me semble pas à la place attendue).
  • Le chapitre sur vers une nouvelle définition me semble mélanger plusieurs préoccupations : création de nouveaux ensembles géométriques qui n'on rien d'euclidien et sur l'on ne cherche pas à rendre euclidien et tentatives de généralisation de l'espace euclidien à autre chose que notre espace "naturel". De ces deux préoccupations la seconde seulement nous intéresse dans cet article et le chapitre pourrait être réduit de moitié.
  • Parler d'espace vectoriel euclidien pour un espace vectoriel sur le corps des complexes, ou laisser sous-entendre cette notion me parait inapproprié. Si le corps est C, il s'agit d'un espace hermitien
  • L'histoire de la remise en cause est trop longue et doit aller, à mon avis dans la partie historique de l'article: géométrie non-euclidienne. Dans cet article, ne devrait figurer que la remise en cause du cinquième postulat (je signale qu'il s'écrit différemment dans les deux articles), qu'est-ce que ça change sur le théorème de Pythagore que tu dis être significatif de la géométrie euclidienne. En quoi les autres axiomes restent inchangés ?

[modifier] Opinion de Salle

Je suis intervenu principalement sur les deux premiers paragraphes :

  • Pour le paragraphe d'histoire, j'ai essayé de rajouter un peu de liant, de sorte que les objectifs et les enjeux qui feront la structure de l'article soit évoqués plus explicitement ; pour moi, cela doit faciliter la lecture.

A mon gout tu atteins ton objectif, mon idée initiale est celle que tu mets en valeur. Il reste quelques petites fautes de style, que je me propose de corriger (trois fois le mot espace dans une phrase, un peu trop de nous et de on) mais le texte apparaît plus clair après ton passage. Es-tu d'accord?

OK
  • Parag 1.3 : les citations de Gauss sont certes amusantes, mais n'est-ce pas un peu private de rédiger le XIXème siécle comme cela?

Le coté amusant illustre les difficultés de la révolution intellectuelle nécessaire, tu l'as précisement décrit, l'illustration ne me gène pas. Je propose de laisser Peps ou d'autres trancher. Sommes nous d'accord?

Pour le moment, je mets de côté ; mais je crois que j'y reviendrai.

[modifier] L’approche euclidienne de la science de l’espace

[modifier] Opinion de Peps

  • dans le paragraphe 2.1. il semble qu'on soit avec la géométrie d'Euclide - au sens ancien
  • mais en 2.3. on énonce la géométrie d'Euclide telle que reconstituée (et arrangée) dans l'enseignement < ou = au lycée.
Le sage Peps aurait il vu une subtilité qui m'échappe? j'imaginais, avec naïveté semble-t-il, que la géométrie d'Euclide et l'enseignement au lycée avant l'apparition du repère sont équivalent. Pour moi les deux correspondent à une espèce de bouillie intellectuelle tant que le grand Hilbert n'y met pas d'ordre. Ne voulant pas creuser à ce niveau là, j'ai jeté un voile pudique sur la vertu du brave Euclide.

Remarques pour le paragraphe 2. : il faudrait dès le 2.1., sans détailler, donner une idée des objets de la géométrie euclidienne : c'est une géométrie des points, segments, etc... en 2.2. la phrase sur le XVIe siècle n'est pas claire : en quoi les maths s'écartent elles de la géom du triangle (de quoi se rapprochent elles alors ?). L'idée que l'espace physique est euclidien est bien antérieure par contre.

Imparable, mais plus difficile. car il faut éviter les redites, maintenant encore une fois tu as raison.

Certaines remarques sont trop elliptiques : elles appellent plus de commentaires notamment l'évocation des nombres réels et de la méthode d'exhaustion ; à moins de raccourcir au contraire car ça risque d'ouvrir une trop grosse parenthèse.

Je suis pour ouvrir la boite de Pandore, certains lecteurs seront curieux, il ne faut pas les négliger. Qu'en penses-tu?
oui mais il faut trouver le moyen de ne pas perturber le plus grand nombre au profit des plus curieux. Ce qui veut dire que puisque le problème est le plus compliqué de ceux qui se traitent dans cette page, qu'il fait appel aux subtilités d'une autre page (nombre réel) et qu'il peut être disjoint du reste sur le plan logique, il est bon d'en renvoyer l'étude à un paragraphe final à mon avis. Peps 9 mai 2006 à 14:16 (CEST)
Pour "Euclide au collège et au lycée" : je ne suis pas sûr que les programmes actuels se préoccupent de questions de cohérence interne. Mais auparavant, je crois qu'il y avait eu des tentatives de faire des choses les moins bancales possibles. En tout cas le mode de présentation a varié, et n'est pas la recopie directe des postulats d'Euclide, même s'il y a sans doute, grosso modo, équivalence logique.
Par ailleurs, et de façon plus importante, ton exemple « prouver qu'une rotation laisse la distance invariante » n'est pas forcément très parlante pour le lecteur. Même si c'est moins fondamental, il semble plus éclairant pour commencer de parler de l'axiome de Pasch et dire que Euclide admet par lecture sur le dessin un certain nombre de propriété d'ordre ou d'incidence, comme quelque chose d'aussi simple que "étant donné une droite, il existe un point en dehors de la droite". (axiome non euclidien mais qui est peut-être dans les lycées/collèges lui ?) Peps 9 mai 2006 à 14:16 (CEST)

[modifier] Opinion de HB

Pour moi, on est encore dans l'histoire, on repart sur Euclide avec enfin les postulats. Sur les outils, ça me parait très bien sauf que tu t'étales trop sur les réels et la méthode d'exhaustion. il me parait plus judicieux d'insister davantage sur la trigonométrie et la triangulation. Il me semble que l'on peut supprimer sans remord le chapitre sur les construction à la règle et au compas et se contenter d'une évocation et un renvoi sur nombre constructible. Tu dis en particuler que "Une famille de figures constructibles emblématique est celle des polygones réguliers" or il ne le sont pas tous (théorème de Gauss-Wantzel).

[modifier] Opinion de Salle

  • Pour le deuxième paragraphe, il y avait à mon goût un problème de structure : je propose de mettre le paragraphe sur les outils au début, ensuite règle et compas=succès avec outils d'Eucl. ; physique=succès mais avec outils analytiques en plus. Si j'ai bien compris le texte tel qu'il était, c'était bien de cela qu'il parlait (c'est-à-dire, je n'ai pas rajouté de contenu) ; je trouve juste que cette nouvelle structure soutient mieux le texte. Il s'est posé le problème d'une phrase sur la mesure ; je ne vois pas trop ce qu'elle venait faire dans un paragraphe Règle et compas (qui s'appelait déjà comme ça avant mon intervention) ; on peut l'y rétablir, mais il faudra expliquer. J'ai créé un nouveau sous-paragraphe juste pour souligner le problème, et peut-être pour proposer une solution : peut-on créer un nouveau sous-paragraphe avec ça, et avec la phrase sur l'exhaustion qui me paraît faire un peu bandelette là où il est?

Je suis complètement en phase avec tes deux remarques. En général, il est plus clair d'introduire une problématique théorique avec les exemples, dans ce cas particulier, la règle ne s'applique pas. La création d'un nouveau sous-paragraphe sur la mesure est parfaitement pertinente, à condition de l'enrichir un peu pour éviter le phénomème bandelette. Penses tu que ce soit justifié?

OK
  • J'ai fait quelques modif mineures ailleurs, plutôt dans l'esprit de celles du premier paragraphe. En particulier, j'ai modifié des titres.

[modifier] Extension de la géométrie euclidienne, et formalisation : le produit scalaire

[modifier] Opinion de HB

  • Les deux introduction alourdissent encore l'article sans vraiment l'éclairer. On a hâte de voir une définition claire d'un espace euclidien. Quand celle-ci apparait on manque la râter tant elle est noyée dans le bavardage.
"Un espace euclidien est un espace vectoriel réel de dimension finie muni d'un produit scalaire."
  • Si telle est la définition, que viennent faire les paragraphes "propriétés spécifiques aux cas réels" et "propriétés vraies en dimension finie"?
  • Dans équivalence des approches, on assiste en fait à une présentation peu classique du produit scalaire comme une aire, mais pas à une réelle correspondance entre la définition axiomatique d'euclide et ce produit scalaire. Euclide parle de distance et d'angle et il faut bien chercher dans l'article comment, grâce à un produit scalaire, on évalue une distance et un angle (il me semble pourtant que cette notion devrait être mise en valeur). Il me semble que le dessin de la symétrie du produit scalaire induit en erreur : l'extrémité du vecteur y n'a aucune raison d'être confondue avec le point D.
  • Le paragraphe : isométrie en géométrie euclidienne semble reprendre le paragraphe "vers une nouvelle définition". mais je n'ai pas vraiment compris quel était l'objectif de Klein et comment le produit scalaire répondait à sa préoccupation. (à fusionner)
  • Le paragraphe : euclide et la logique reprend, en le développant, le même paragraphe figurant dans histoire (à fusionner)

[modifier] Opinion de Salle

Essentiellement trois critiques:

Merci pour tes exemples sur le programme d'Erlangen ; encore une fois, ce sont des enjeux que je ne connais pas, mon intervention est vraiment naïve, je ne fais pas semblant, mais voilà ce qu'il me semble. Tes exemples ne répondent pas à mon attente : tu dis que la classification par cinquième postulat ou non devient caduque (ou du moins est trop particulière, et ne rends pas compte de la diversité de la géométrie) ; en fait, le programme d'Erlangen donne un bon cadre général ; qu'advient-il précisément du 5ème postulat ici? Pour tes exemples, on a à chaque fois une notion naturelle de droite, ce sont des modèles géométriques qui vérifient les 4 premiers postulats, et la question du cinquième se pose et est pertinente. Alors, qu'est-ce qu'Erlangen change en définitive? Y a-t-il des géométries erlangiennes où la question du cinquième postulat ne se pose pas? Ou bien est-ce juste une question qui se pose pour toutes ces géométries, qui est intéressante certes, mais qui n'est pas la question fondamentale?

Ensuite, complètement d'accord pour que les vraies maths soient faites dans des articles connexes ; c'est ce que je défends aussi.

Dernier point, sur l'équivalence des approches, et la boîte en 3.3, je suis assez dans le flou ; si tu parviens à démêler dans les remarques suivantes ce qui est pertinent et là où je passe à côté de l'enjeu, je serai content. Je partage l'avis de HB ci-dessous : pour moi tu ne montres pas l'équivalence des approches. D'ailleurs, je ne saisis pas précisément l'objectif de ce développement. Si j'en reste à mon idée de modélisation, il n'est d'ailleurs pas possible de démontrer l' équivalence des approches ; tout ce qu'on peut espérer, c'est montrer que l'espace vectoriel réel muni d'un produit scalaire est un bon modèle pour les axiomes d'Euclide ; et c'est une démonstration qui se fait en vérifiant que ce modèle linéaire vérifie ces axiomes, point. Si on en reste à l'idée d'un article survol telle que je l'ai décrite ailleurs, c'est la seule chose qu'on peut inclure dans l'article. Pour moi, ce que tu fais, c'est autre chose (intéressant aussi), qui aurait sa place dans produit scalaire : c'est plutôt donner une interprétation géométrique du produit scalaire, qui fait sentir qu'on va obtenir une notion de mesure et de longueur ; et il n'y a pas d'enjeu de modélisation dans ton texte. Pinaillons encore : où se situe l'intervention du théorème de Thalès dans ton texte? L'utilises-tu juste comme illustration ou comme argument dans un raisonnement? Dans la deuxième éventualité, il faudrait déjà qu'il soit établi ; comme conséquence de l'axiomatique d'Euclide? Mais alors c'est que tu admets implicitement que ton monde (bi)linéaire est un modèle pour cette axiomatique. Or, n'est-ce pas ce que tu voulais montrer?

[modifier] Opinion de Peps

  • dans le 3. il est bien de donner des exemples d'abord mais du coup en entamant le paragraphe 3. on ne sait pas ce que tu vas faire : il faut une petite phrase d'intro du 3. "Certaines applications montrent une nécessité de réforme de l'approche axiomatique d'Euclide."
Sage, pertinent et sans appel.

Pour les exemples 3.1. et 3.2. on a envie de demander en quoi ils sont euclidiens : par exemple pour l'ACP parce qu'il y a un problème de recherche de distance minimale entre données expérimentales et loi empirique, etc...

Sage, pertinent et sans appel.

Peps 9 mai 2006 à 00:02 (CEST)

[modifier] Euclide et la logique

[modifier] Opinion de Salle

  • Parag 4.2 : L'hypothèse du continu est un exemple de nouveau champ mathématique où cette base axiomatique se révèle trop incomplète pour trancher. Et Gödel a démontré que l'ajout d'un nouvel axiome pour permettre une démonstration ne fera qu'ouvrir un nouveau champs contenant d'autres propositions indécidables.L'hypothèse du continu a-t-elle vraiment à voir avec l'axiomatique de Hilbert? Est-elle d'ailleur formulable dans ce cadre? Pour moi, c'est plutôt lié à ZF. La deuxième phrase me semble redondante avec une phrase juste au-dessus.

Il est indiscutable que la phrase telle quelle pose problème. L'objectif de Hilbert est logique et non géométrique, il sait qu'une axiomatique de cette nature n'a plus de sens pour les géomètres. En terme de logique, Hilbert cherche la complétude et ne veut plus d'une situation ou il existe des propositions non démontrables. C'est tout l'enjeu de l'article de 1899. Dans ce contexte l'enjeu c'est justement des questions logiques du type hypothèse du continu. Est-elle formulable dans ce cadre? Presque, la logique des axiomes de Hilbert n'est pas une logique du premier ordre, en effet il existe 3 objets de base points droites et plans. Mais il suffit d'un tout petit peu de réorganisation de la construction pour obtenir une logique du premier ordre (un peu de théorie ensembliste et hop, il ne reste plus qu'un objet de base, le point, le reste devient défini comme un ensemble de points). Si ma mémoire est bonne, c'est fait en 1902, je ne suis pas entré dans le détail mais je ne suis pas loin. Tu as raison, l'affaire est lié à ZF comme le futur le montrera, les articles logique du début du XXe siècle utilisent systématiquement comme exemple les axiomes de Hilbert. Il est pionnier dans cette aventure et c'est le sens de son article. La deuxième phrase n'est théoriquement pas redondante, l'idée est qu'il existe des indécidables chez Hilbert, contrairement à son objectif déclaré, idée de la phrase 1. Phrase 2 le sens est : c'est inévitable, ajouter un axiome de fait que déplacer le pb. Je réécrit puis on en rediscute, es tu d'accord?

C'est bien ce que je souhaitais.
  • Parag 4.1 : Ainsi, comme illustré sur la figure de gauche, la rotation d'un angle de 45° de la diagonale d'un cercle de coté 1 ne possède pas, à priori son extrémité A. Enfin les limites recouvertes par la construction euclidienne ne sont pas explicités.

Je ne comprends pas...

Si même toi tu ne comprends pas, je crains que l'objectif de l'article ne soit pas tout à fait atteint. Plaçons nous dans un repère orthonormal, les coordonnées du point A sont (1,1) celle du point A' devient racine de deux sur l'axe des x, qui n'existe pas sur les rationnels, le monde que les anciens avaient en tête. La question des limites dans ma tête est la suivante: Un ruban de Moebius est il un espace euclidien? si ce n'est pas le cas pourquoi? chez Euclide, on nage dans le flou. Est-ce plus clair? Je réécrit un texte et je te le soumets, tu me diras si cela fait sens, une réécriture de ta part après ne sera surement pas de trop.

Je me doutais bien que c'étaiy un truc comme ça. Je te laisse reformuler.

[modifier] Généralisations

[modifier] Opinion de HB

le renvoi aux géométrie non euclidien est trompeur puisque sont développées ensuite des généralistations "euclidiennes".

  • Dimension infinie, rien à dire,
  • espace hermitien rien à dire,
  • distance négative rien compris : il me semble que dire qu'il existe des formes bilinéaires dans lequel la distance n'est pas positive n'a pas de sens. Comment définis-tu une distance dans ce cas-là (pour moi, la distance est la racine carrée du produit scalaire du vecteur par lui-même, elle nécessite que ce produit soit positif, si c'est le cas, le résultat ne peut pas être négatif)
  • Variétés troisième fois que l'on entend parler des géométrie non euclidienne....

Bilan : à la fin de l'article, je ne sais toujours pas ce qu'est un espace euclidien (espace vectoriel sur R ? (je pense), sur C comme tu le dis parfois (pas d'accord), de dimension finie ou infinie ?)....

[modifier] Opinion de Salle

  • Parag 5 :Il existe en plus de nombreux cas où l'espace n'est pas vectoriel, Klein formalise des géométries non orientables, Georg Cantor (1845-1918) découvre un ensemble triadique dont la dimension n'est pas entière et qui maintenant est classé dans la catégorie des géométries fractales. La topologie ouvre la porte à la construction de nombreux autres cas.

Est-on vraiment dans un enjeu géométrique? Si oui, il faudrait développer. J'aurai tendance à être d'accord pour le problème de l'orientation ; ensuite, le terme de géométrie concernant les fractales recouvre des enjeux complètement différents de ce qui est évoqué jusque là. Pour moi, c'est de nature vraiment différente de toutes les évolutions décrites précédemment ; on est plus dans un glissement sémantique du terme géométrie que dans la découverte de nouvelles géométries. Salle 9 mai 2006 à 22:08 (CEST)

Pour les fractales, et le peu de théorèmes que l'on a à se mettre sous la dent, la réponse est naturellement flou. En fait quand je pense au fractales, je pense aux outils comme la dimension, la connexité sur le théorème de crotte de lapin de Douady la bifurcation de Hopf et Mandelbrot fait des jolis dessins mais ne produit pas un théorème. En bref, quand il y a un théorème c'est à ma connaissance essentiellement grâce à une approche géométrique. Maintenant, je suis pas en train d'ouvrir une polémique au lieu de la fermer? L'objectif est d'expliciter le fait que la géométrie euclidienne est loin d'être unique et pas uniquement à cause du cinquième postulat. Que parler de géométrie non euclidienne devient absurde car finallement fort peu de géométries sont euclidiennes et on ne décrit pas un objet par ce qu'il n'est pas. Sur la forme j'ai envie de défendre le fait que les fractales correspondent à une considération géométrique mais sur le fond je me range à ta position, les exemples sont suffisants pour que celui des fractales n'ajoutent rien. Sommes nous d'accord?

Là, je suis moins d'accord. Pour moi, la notion de géométrie non euclidienne reste un concept pertinent. Je ne connais pas le programme d'Erlangen (pas au-delà de ce qu'il y a dans l'article), mais si on en reste à : la géométrie, cela revient à se donner des points, des droites, une distance, et à étudier des propriétés d'incidence et des propriétés métriques, le cinquième postulat reste un critère de classification pertinent ; ensuite, si je prends l'exemple de la géométrie algébrique, ou de la géométrie des singularités, il me semble que souvent dans ces contextes, il y a certes beaucoup de choses qui ressemblent à des propriétés d'incidence, mais qu'il n'y a plus forcément de notion de distance ; je veux bien qu'on utilise le terme géométrie, mais j'ai quand même tendance à croire qu'il s'agit d'autre chose. A fortiori pour les fractales. Ce qui m'intéresserait, ce serait des exemples issus du programme d'Erlangen, où effectivement la question du cinquième postulat ne se pose pas, expliquer pourquoi, et où ça se situe. Si tu en as, je serais enchanté.