Demi-plan de Poincaré

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Le demi-plan de Poincaré est un sous-ensemble des nombres complexes. Il a permis au mathématicien français Henri Poincaré d'éclairer les travaux du Russe Nicolaï Lobatchevski.

Sommaire

1 Le demi-plan de Poincaré (1882)
- 1.1 Géométrie
  - 1.1.1 Métrique
  - 1.1.2 Géodésiques
- 1.2 Homographies
2 Groupes Fuchiens
3 Formes automorphes
4 Dynamique chaotique
5 Liens
6 Bibliographie
- 6.1 Ouvrages de mathématiques
  - 6.1.1 Géométrie
  - 6.1.2 Chaos
- 6.2 Références pour physiciens théoriciens
7 Notes

[modifier] Le demi-plan de Poincaré (1882)

Le demi-plan de Poincaré est formé par les nombres complexes de partie imaginaire strictement positive. Il fournit un exemple de géométrie non euclidienne, plus précisement de géométrie hyperbolique.

[modifier] Géométrie

On considère le demi-plan supérieur :

$\mathcal{H}_2 \ = \ \left\{ \ z = x + i y \ / \ y \ > \ 0 \ \right\}$

[modifier] Métrique

On munit le demi-plan supérieur de la métrique :

$ds^2 \ = \ \frac{a^2 \, \left( \, dx^2 \, + \, dy^2 \, \right)}{y^2}$

Cette métrique possède une courbure scalaire constante négative :

$R \ = \ - \ \frac{1}{a^2}$

On se ramène usuellement au cas d'une courbure unité, c’est-à-dire qu'on choisi : $a = 1$ pour simplifier les équations.

[modifier] Géodésiques

Les géodésiques sont les demi-droites (au sens euclidien) verticales : $x = c t e$ (en rouge) et les demi-cercles (au sens euclidien) perpendiculaires à l'axe des abscisses : $y = 0$ (en bleu) :

On pourra consulter le site du mathématicien Andrew G. Bennett (université du Kansas) qui contient 3 applets java sur les géodésiques, les cercles hyperboliques et les triangles hyperboliques.

[modifier] Homographies

Les matrices de $GL_2^+(\mathbb R)$ agissent sur cet espace, par homographies ^[1]. Plus précisément, soit $g$ un élément de $GL_2^+(\mathbb R)$ :

$g \ = \ \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \quad , \quad \mathrm{det} \, g \ = \ ad - bc > 0$

Son action sur un point $z$ du demi-plan est donnée par :

$g(z) \ = \ \frac{az+b}{cz+d}$

[modifier] Groupes Fuchiens

[modifier] Formes automorphes

[modifier] Dynamique chaotique

Le flot géodésique sur une variété riemannienne à courbure négative est le prototype de système dynamique à temps continu le plus chaotique qui soit, une propriété remarquée dès 1898 par Hadamard^[2]. On sait aujourd'hui que ce flot est, par ordre croissant d'irrégularités^[3]^,^[4] :

ergodique
mélangeant (« mixing »)
K-système (Anosov)
C-système = bernouillien^[5].

Lire aussi : Chaos on the pseudosphere^[6], Hyperbolic geometry in two dimensions and trace formulas^[7], Quantum and classical properties of some billiards on the hyperbolic plane^[8].

[modifier] Liens

[modifier] Bibliographie

[modifier] Ouvrages de mathématiques

[modifier] Géométrie

John Stillwell ; Geometry of Surfaces, Universitext, Springer-Verlag (1992), ISBN 0-387-97743-0.
Birger Iversen ; Hyperbolic Geometry, London Mathematical Society Student Texts 25, Cambridge University Press (1992), ISBN 0-521-43528-5.
Toshitsune Miyake ; Modular forms, Springer-Verlag (1989), ISBN 0-387-50268-8. Attention, ce n'est pas un livre pour débutant !

[modifier] Chaos

Jacques Hadamard ; Les surfaces à courbures opposées et leurs lignes géodésiques, Journal de Mathématiques Pures & Appliquées 4 (1898) 27.
Pierre Pansu ; Le flot géodésique des variétés Riemanniennes à courbure négative, Séminaire Bourbaki 738 (1991) publié dans : Astérisque 201-203 (1991) 269-298.
Donald S. Ornstein & Benjamin Weiss ; Geodesic flows are Bernouillians, Isreal Journal of Mathematics 14 (1973) 184.
Vladimir Arnold & André Avez ; Ergodic problems of classical mechanics, Advanced Book Classics, Addison-Wesley (1988).

[modifier] Références pour physiciens théoriciens

Nandor Balasz & André Voros ; Chaos on the pseudosphere, Physics Report 143 (1986) 109.
Yves Colin de Verdière ; Hyperbolic geometry in two dimensions and trace formulas, dans : Marie-Joya Giannoni, André Voros & Jean Zinn-Justin (éditeurs) ; Chaos & Quantum Physics, Proceeedings de l'École d'Eté de Physique Théorique des Houches (1989) Session LII, North-Holland (1991), ISBN 0-444-89277-X.
Charles Schmit ; Quantum and classical properties of some billiards on the hyperbolic plane, dans : Marie-Joya Giannoni, André Voros & Jean Zinn-Justin (éditeurs) ; Chaos & Quantum Physics, Proceeedings de l'École d'Eté de Physique Théorique des Houches (1989) Session LII, North-Holland (1991), ISBN 0-444-89277-X.

[modifier] Notes

↑ Le groupe $GL_2^+(\mathbb R)$ est le sous-groupe de $GL_2(\mathbb R)$ formé par les matrices de déterminant positif.
↑ Jacques Hadamard ; Les surfaces à courbures opposées et leurs lignes géodésiques, Journal de Mathématiques Pures & Appliquées 4 (1898) 27.
↑ Vladimir Arnold & André Avez ; Ergodic problems of classical mechanics, Advanced Book Classics, Addison-Wesley (1988).
↑ Pierre Pansu ; Le flot géodésique des variétés Riemanniennes à courbure négative, Séminaire Bourbaki 738 (1991) publié dans : Astérisque 201-203 (1991) 269-298.
↑ Donald S. Ornstein & Benjamin Weiss ; Geodesic flows are Bernouillians, Isreal Journal of Mathematics 14 (1973) 184.
↑ Nandor Balasz & André Voros ; Chaos on the pseudosphere, Physics Report 143 (1986) 109.
↑ Yves Colin de Verdière ; Hyperbolic geometry in two dimensions and trace formulas, dans : Marie-Joya Giannoni, André Voros & Jean Zinn-Justin (éditeurs) ; Chaos & Quantum Physics, Proceeedings de l'École d'Eté de Physique Théorique des Houches (1989) Session LII, North-Holland (1991), ISBN 0-444-89277-X.
↑ Charles Schmit ; Quantum and classical properties of some billiards on the hyperbolic plane, dans : Marie-Joya Giannoni, André Voros & Jean Zinn-Justin (éditeurs) ; Chaos & Quantum Physics, Proceeedings de l'École d'Eté de Physique Théorique des Houches (1989) Session LII, North-Holland (1991), ISBN 0-444-89277-X.