Disque de Poincaré

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En géométrie, le disque de Poincaré est un modèle de la géométrie hyperbolique à n dimensions où les points sont situés dans la boule unité ouverte de dimension n et les droites sont soit des arcs de cercles contenus dans le disque et orthogonaux à sa frontière, soit des diamètres de la boule. En plus du modèle de Klein et demi-plan de Poincaré, il a été proposé par Eugenio Beltrami pour démontrer que la consistance de la géométrie hyperbolique était équivalente à la consistance de la géométrie euclidienne.

Sommaire

1 La fonction distance
2 Forme métrique
3 Relation avec le modèle hyperboloïde
4 Constructions par le géométrie analytique dans le plan hyperbolique
5 Angles et disque de Poincaré
6 Voir
7 Références

[modifier] La fonction distance

Si u et v sont deux vecteurs de l'espace à n dimensions Rⁿ muni de la norme euclidienne, de norme inférieure à 1, alors il est possible de définir un invariant isométrique de la façon suivante :

$\delta (u, v) = 2 \frac{||u-v||^2}{(1-||u||^2)(1-||v||^2)},$

où ||*|| est la norme euclidienne. Alors la fonction distance est définie par

$d(u, v) = \operatorname{arccosh} (1+\delta (u,v)).$

Une telle fonction définit alors un espace métrique qui est un modèle d'espace hyperbolique de courbure constante -1. Pour ce modèle, l'angle entre deux courbes qui se coupent dans l'espace hyperbolique est le même que l'angle du modèle.

[modifier] Forme métrique

La métrique du disque de Poincaré est donnée par la formule suivante :

$ds^2 = 4 \frac{\sum_i dx_i^2}{(1-\sum_i x_i^2)^2}.$

[modifier] Relation avec le modèle hyperboloïde

Le disque de Poincaré, comme le modèle de Klein, a un rapport avec le modèle hyperboloïde. Il est possible de projeter le point [t, x₁, ... x_n] de la nappe supérieure du modèle hyperboloïde sur l'hypersurface t=0 en l'intersectant avec une droite passant par [-1, 0, ..., 0]. Le résultat est le point correspondant du disque de Poincaré.

[modifier] Constructions par le géométrie analytique dans le plan hyperbolique

Un problème de base en géométrie analytique consiste à trouver une droite passant par deux points. Avec le disque de Poincaré, les droites sont des arcs de cercles qui ont des équations de cette forme :

x 2 + y 2 + a x + b y + 1 = 0,

qui est la forme générale d'un cercle orthogonal au cercle unité, ou des diamètres. Étant donné deux points u et v du disque qui n'appartiennent pas un diamètre, nous obtenons, pour le cercle passant par ces points :

$x^2 + y^2 + \frac{u_2(v_1^2+v_2^2)-v_2(u_1^2+u_2^2)+u_2-v_2}{u_1v_2-u_2v_1}x +$

$\frac{v_1(u_1^2+u_2^2)-u_1(v_1^2+v_2^2)+v_1-u_1}{u_1v_2-u_2v_1}y + 1 = 0.$

Si les points u et v sont des points de la frontière du disque non diamètralement opposés, cela se simplifie en :

$x^2+y^2+\frac{2(u_2-v_2)}{u_1v_2-u_2v_1}x - \frac{2(u_1-v_1)}{u_1v_2-u_2v_1}y + 1 = 0.$

[modifier] Angles et disque de Poincaré

Il est possible de calculer l'angle entre un arc de cercle dont les points idéaux, qui sont ses extrêmités donnés par les vecteurs unitaires u et v, et l'arc dont les extrêmités sont s et t, au moyen d'une formule. Puisque les points idéaux sont les mêmes pour le modèle de Klein et le disque de Poincaré, les formules sont identiques pour chacun de ces modèles.

Si, dans chaque modèle, les droites sont des diamètres, tels que v=-u et t=-s, alors il est possible de trouver l'angle entre deux vecteurs unitaires, et la formule $θ$ est la suivante :

$\cos(\theta) = u \cdot s.$

Si v=-u mais t!=-s, la formule devient, en termes de produit vectoriel,

$\cos^2(\theta) = \frac{P^2}{QR},$

où :

$P = u \cdot (s-t),$

$Q = u \cdot u,$

$R = (s-t) \cdot (s-t) - (s \wedge t) \cdot (s \wedge t)$

Si les cordes ne sont pas des diamètres, la formule générale donne :

$\cos^2(\theta) = \frac{P^2}{QR},$

où :

$P = (u-v) \cdot (s-t) - (u \wedge v) \cdot (s \wedge t),$

$Q = (u-v) \cdot (u-v) - (u \wedge v) \cdot (u \wedge v),$

$R = (s-t) \cdot (s-t) - (s \wedge t) \cdot (s \wedge t).$

En utilisant l'identité de Binet-Cauchy et le fait qu'il s'agit de vecteurs unitaires, il est possible de réécrire les expressions ci-dessus en termes de produit scalaire :

$P = (u-v) \cdot (s-t) + (u \cdot t)(v \cdot s) - (u \cdot s)(v \cdot t),$

$Q = (1 - u \cdot v)^2,$

$R = (1 - s \cdot t)^2.$

[modifier] Voir

Géométrie hyperbolique
Modèle de Klein
Demi-plan de Poincaré
Métrique de Poincaré
Inversion

[modifier] Références

James W. Anderson, Hyperbolic Geometry, second edition, Springer, 2005
Eugenio Beltrami, Theoria fondamentale delgi spazil di curvatura constanta, Annali. di Mat., ser II 2 (1868), 232-255
Saul Stahl, The Poincaré Half-Plane, Jones and Bartlett, 1993