Critère d'Eisenstein

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En mathématiques, le critère d'Eisenstein donne des conditions suffisantes pour qu'un polynôme soit irréductible sur le corps des nombres rationnels (ou sur l'anneau des entiers relatifs, ce qui est équivalent d'après le lemme de Gauss).

[modifier] Enoncé

Considérons le polynôme $P$ à coefficients entiers, que l'on note

$P=a_nX^n+a_{n-1}X^{n-1}+\ldots+a_1X+a_0.$

Supposons qu'il existe un nombre premier $p$ tel que

$p$ divise chaque $a i$ (pour $i\in \{0,1,\ldots,n-1\}$ ),
$p$ ne divise pas $a n$ ,
$p 2$ ne divise pas $a 0$ .

Alors $P$ est irréductible sur $\mathbb{Z}[X]$ , l'ensemble des polynômes à coefficients entiers.

Démonstration

On réduit les coefficients de $P$ modulo $p$ . On obtient un polynôme de $\mathbb{F}_p[X]$ de la forme $c X n$ avec $c \in \mathbb{F}_p$ non nul.

Par l'absurde, si $P$ se factorise en $P = Q R$ , où $Q$ et $R$ sont des polynômes de $\mathbb{Z}[X]$ de degré non nul, en passant modulo $p$ , alors nécessairement on obtient une factorisation de $c X n$ sous la forme de monômes $d X k$ et $e X n - k$ , où $d e = c$ .

Remarquons maintenant que $a 0 = Q (0) R (0)$ . D'après la forme de $Q$ et $R$ , on sait que $Q (0)$ et $R (0)$ sont divisibles par $p$ , donc $Q (0) R (0)$ est divisible par $p 2$ , et par suite $a 0$ est divisible par $p 2$ , ce qui est une contradiction. Donc $P$ est irréductible.

[modifier] Exemples

Considérons le polynôme $P = 3 X 4 + 15 X 2 + 10$ .

Nous examinons différents cas pour les valeurs de $p$ suivantes

$p = 2$ . 2 ne divise pas 15, on ne peut pas conclure
$p = 3$ . 3 ne divise pas 10, on ne peut pas conclure
$p = 5$ . 5 divise 15, le coefficient de $X 2$ , et 10 le coefficient constant. 5 ne divise pas 3, le coefficient dominant. En outre, 25 = 5² ne divise pas 10. Ainsi, nous concluons grâce au critère d'Eisenstein que $P$ est irréductible.

Dans certains cas le choix du nombre premier peut ne pas être évident, mais peut être facilité par un changement de variable de la forme $Y = X + a$ , appelé translation.

Par exemple considérons $H = X 2 + X + 2$ . L'application du critère semble compromise puisque qu'aucun nombre premier ne divisera 1, le coefficient de $X$ . Mais si nous translatons $H$ en $H (X + 3) = X 2 + 7 X + 14$ , nous voyons immédiatement que le nombre premier 7 divise le coefficient de $X$ et de le coefficient constant et que 49 ne divise pas 14. Ainsi en translatant le polynôme nous l'avons fait satisfaire le critère d'Eisenstein.

Un autre cas connu est celui du polynôme cyclotomique d'indice un entier premier $p$ , c’est-à-dire le polynôme

$\frac{X^p - 1}{X - 1} = X^{p - 1} + X^{p - 2} + \cdots + X + 1.$ .

Ici, le polynôme satisfait le critère d'Eisenstein, dans une nouvelle variable $Y$ après une translation $X = Y + 1$ . Le coefficient constant est alors égal à $p$ ; les autres coefficients sont divisibles par $p$ d'après les propriétés des coefficients binomiaux.