Bialgèbre

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En mathématiques, une bialgèbre ou bigèbre est un ensemble qui possède à la fois une structure d'algèbre et une structure de coalgèbre, et tel que ces deux structures soient compatibles entre elles. Les algèbres de Hopf sont en particulier des bigèbres.

[modifier] Définition

Si k est un corps, une bialgèbre est un k-espace vectoriel B muni de quatre applications linéaire :

  • Un produit \mu:B \otimes B \longrightarrow B
  • Une unité \eta:k \longrightarrow B
  • Un coproduit \Delta:B\longrightarrow B \otimes B
  • Une counité \epsilon:B\longrightarrow k

telles que (B,μ,η) soit une algèbre et (B,Δ,ε) une coalgèbre, et qui vérifie l'une des propriétés équivalentes suivantes :

  1. Δ et ε sont des morphismes d'algèbre.
  2. μ et η sont des morphismes de coalgèbre.

[modifier] Motivations

La notion de bialgèbre intervient surtout dans l'étude des algèbres de Hopf qui sont des bialgèbres particulières.

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