Algèbre de Hopf

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En mathématiques, une algèbre de Hopf, du nom du mathématicien Heinz Hopf, est une bialgèbre qui possède en plus une opération (l'antipode) qui généralise la notion de passage à l'inverse dans un groupe. Ces algèbres on été introduites à l'origine pour étudier la cohomologie des groupes de Lie. Les algèbres de Hopf interviennent également en topologie algébrique, en théorie des groupes et dans bien d'autres domaines. Enfin, ce qu'on appelle les groupes quantiques sont souvent des algèbres de Hopf «déformées» et qui ne sont en général ni commutatives, ni cocommutatives. Ces objets sont ainsi au coeur de la géométrie non-commutative.

[modifier] Motivations

Historiquement, les algèbres de Hopf ont été introduites pour étudier la cohomologie des groupes de Lie. L'intérêt de l'existence du coproduit est aussi lié à la théorie des représentations des algèbres. En effet, si $A$ est une algèbre, et $V 1, V 2$ sont deux $A$ -modules, alors $V_1 \otimes V_2$ n'est pas en général lui-même un $A$ -module, mais seulement un $A \otimes A$ -module. Il devient un $A$ -module si et seulement s'il existe un morphisme d'algèbre $Δ$ de $A$ dans $A \otimes A$ , ce qu'est le coproduit d'une algèbre de Hopf. Si on souhaite en plus que la catégorie des représentations de $A$ soit une catégorie monoïdale, les conditions pour que cela fonctionne se réduisent exactement à l'existence d'un coproduit et d'une counité qui satisfont aux axiomes des algèbres de (Quasi-)Hopf.

[modifier] Exemple

Etant donné un groupe fini G et un corps K, la K-algèbre de groupe K[G] peut etre muni d'un structure d'algèbre de Hopf. K[G] est simplement l'espace vectoriel dont une base est formé par les éléments de G, et ou la multiplication est induite par la loi de composition de G. On munit d'abord K[G] d'une structure de bialgèbre en définissant le coproduit par $\Delta(g)=g \otimes g$ et la counité par $ε(g) = 1 K$ , et en etendant linéairement ces applications à tout K[G]. Enfin, on définit l'antipode S par $S (g) = g - 1$ .