Automorphisme orthogonal

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En mathématiques, en algèbre linéaire, un automorphisme orthogonal d'un espace préhilbertien est un automorphisme qui conserve le produit scalaire.

Soit E un espace préhilbertien. Alors un automorphisme f est orthogonal si et seulement si, pour tous x et y de E, il vérifie :

\langle f(x) | f(y) \rangle = \langle x | y \rangle.

De façon équivalente, f est un automorphisme orthogonal si et seulement si f est un automorphisme et admet f − 1 pour endomorphisme adjoint.

Sommaire

[modifier] Propriétés

La conservation du produit scalaire entraîne celle de la norme : pour tout vecteur x de E

\|f(x)\|=\|x\|

Réciproquement, les identités de polarisation assurent que si f est linéaire et conserve la norme, alors elle conserve le produit scalaire.

En dimension finie, on peut caractériser un automorphisme orthogonal en ce que les colonnes de sa matrice représentative dans une base orthonormée sont orthogonales entre elles : f est un automorphisme orthogonal si sa matrice est une matrice orthogonale.

En dimension finie, l'injectivité de f implique sa bijectivité. Ainsi, tout endomorphisme E qui conserve la norme est un automorphisme orthogonal.

[modifier] Représentation dans une base orthonormale

[modifier] En dimension deux ou trois

Soit E un espace euclidien de dimension deux. Il existe deux types d'automorphismes orthogonaux

  • les rotations qui admettent une matrice représentative de la forme suivante en base orthonormale
\begin{pmatrix} \cos{\theta} & - \sin{\theta} \\ \sin{\theta} & \cos{\theta} \end{pmatrix}

Si l'espace est orienté, θ est l'angle de la rotation.

\begin{pmatrix}1&0 \\ 0&-1 \end{pmatrix}

Dans un espace euclidien de dimension 3, on trouve les types suivants

  • les rotations ayant pour matrice représentative dans une base orthonormale adaptée
\begin{pmatrix} 1 &0&0 \\0& \cos{\theta} & -\sin{\theta} \\ 0& \sin{\theta} & \cos{\theta} \end{pmatrix}
  • les réflexions (symétries orthogonales par rapport à un plan)
\begin{pmatrix}1&0&0 \\0&1&0\\0& 0&-1 \end{pmatrix}
  • les composées d'une rotation et d'une réflexion par rapport au plan normal à l'axe
\begin{pmatrix} -1 &0&0 \\0& \cos{\theta} & - \sin{\theta} \\ 0& \sin{\theta} & \cos{\theta} \end{pmatrix}

[modifier] Cas général

Plus généralement, soit f un automorphisme orthogonal d'un espace euclidien E. Il existe une base orthonormalee dans laquelle, la matrice de f est diagonale par bloc avec trois sortes de blocs :

  • des blocs de taille 1 contenant 1 ou -1 (correspondant aux espaces propres réels).
  • des blocs de taille 2 de la forme
\begin{pmatrix} \cos \theta & -\sin\theta\\ \sin\theta & \cos\theta\end{pmatrix}.

Dans cette décomposition, le nombre de -1 est pair si et seulement si f est un automorphisme orthogonal direct (de déterminant 1).

La preuve de ce résultat de décomposition peut se faire dans le cadre plus général des endomorphismes normaux.

[modifier] Caractérisation d'un automorphisme orthogonal dans un espace euclidien

Soit \ E espace Euclidien, soit f \in L(E).

\ f est un endomorphisme orthogonal \Leftrightarrow \forall (u,v) \in E^2 , (f(u)|f(v)) = (u|v)

  • Un endomorphisme orthogonal est bijectif, c'est pourquoi on peut parler d'automorphisme orthogonal.
  • Un endomorphisme est orthogonal si et seulement s'il préserve la norme, c'est à dire :

\forall u \in E , \|f(u)\| = \|u\|.


Soit \ E espace euclidien, \ f \in L(E). Les propositions suivantes sont équivalentes :

i) \ f est un automorphisme orthogonal de \ E
ii) \ ff^{*}=Id_{E}
iii) \ f^{*}f=Id_{E}
iv) \ f est inversible et \ f^{-1}=f^{*}