Endomorphisme normal

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[modifier] Définition

Soit E un espace préhilbertien, réel ou complexe. Soit u un endomorphisme de E admettant un adjoint u * . On dit que u est normal si et seulement si u\circ u^*=u^*\circ u.

[modifier] Exemples

  • les endomorphismes autoadjoints sont normaux.
  • Les automorphisme orthogonaux sont normaux.

[modifier] Propriétés

  • Lorsque E est un espace hermitien, un endomorphisme de E est normal si et seulement s'il est diagonalisable en base orthonormée.
  • Attention, dans le cas réel, ce sont les endomorphismes autoadjoints qui sont diagonalisables en base orthonormée.
  • Si E est de dimension finie, u un endomorphisme normal de E et F un sous-espace vectoriel de E stable par u, alors F est stable par u * et F^{\perp} est stable par u.