Approximation des régimes quasi-stationnaires

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En électromagnétisme, l'approximation des régimes quasi-stationnaires (ARQS, on parle aussi d'ARQP pour « permanents » au lieu de « stationnaires ») consiste à considérer comme négligeable le temps de propagation des ondes électromagnétiques (OEM) devant la période du signal.

Ainsi, pour une OEM sinusoïdale de période temporelle T et de période spatiale $λ$ , telle que $λ = c . T$ (où $c$ désigne la vitesse de l'onde), et pour un observateur situé à une distance $D$ d'un point quelconque du circuit, on est dans le cadre de l'ARQS si $D < < λ.$

Sommaire

1 Exemples
2 Conséquence dans l'écriture des équations de Maxwell
3 Conséquence pratique : loi des nœuds ou première loi de Kirchhoff
4 Voir aussi

[modifier] Exemples

Soit un émetteur grandes ondes de fréquence $f = 180kHz$ ( $T = 5,6μs$ ).

Soit un récepteur situé à une distance $D = 10cm$ de l'émetteur.

Alors, le temps de propagation sera $Δ t = D / c = 0,33ns$ .

$Δ t < < T,$ donc l'approximation est valable.

Soit un récepteur situé à une distance $D = 1km$ de l'émetteur.

Alors, le temps de propagation sera $Δ t = D / c = 3,3μs$ .

$Δ t$ n'est plus du tout négligeable devant $T$ , l'approximation n'est donc plus valable.

[modifier] Conséquence dans l'écriture des équations de Maxwell

L'équation de Maxwell-Ampère :

$\overrightarrow{\mathrm{rot}} \overrightarrow{B} = \mu_0 \overrightarrow{j} + \varepsilon_0 \mu_0 \frac{\partial \overrightarrow{E}}{\partial t}$

en régime variable, donne le rotationnel du vecteur champ magnétique comme une somme de deux termes.

Or, dans l'ARQS (c'est-à-dire quand la fréquence est assez faible pour une dimension de circuit donnée), le second terme $\varepsilon_0 \mu_0 \tfrac{\partial \overrightarrow{E}}{\partial t}$ est en général négligeable devant le premier $\mu_0 \overrightarrow{j}$ (l'exception la plus courante concerne l'espace inter-armatures d'un condensateur, dans lequel $\overrightarrow{j}$ est nul).

L'équation de Maxwell-Ampère devient

$\overrightarrow{\mathrm{rot}} \overrightarrow{B} = \mu_0 \overrightarrow{j}$ .

[modifier] Conséquence pratique : loi des nœuds ou première loi de Kirchhoff

Si on applique l'opérateur divergence à l'équation de Maxwell-Ampère, on obtient :

$\mathrm{div} \bigl( \overrightarrow{\mathrm{rot}} \overrightarrow{B}\bigr) = \mathrm {div}( \mu_0 \overrightarrow{j} )$ .

Ce qui, selon les règles de l'analyse vectorielle, donne :

$\mathrm{div} \overrightarrow{j} = 0$ .

On applique ensuite le théorème de Green-Ostrogradski :

$\iiint_{V} \mathrm{div} \overrightarrow{j} \cdot\mathrm d \tau = \iint_{S} \overrightarrow{j} \cdot\mathrm d \vec S \ = I_{\rm\grave a~travers~la~surface~ferm\acute ee} = 0$ .

La somme algébrique des intensités passant par un nœud est donc nulle.