Théorème de Tonelli

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Le théorème de Tonelli est une variante du théorème de Fubini. Il s'agit d'un théorème de théorie de l'intégration couramment utilisé pour renverser l'ordre d'intégration, ou encore pour fournir l'intégrabilité d'une fonction.

[modifier] Enoncé

Soient (X,\mu)\, et (Y,\nu)\, 2 espaces mesurables et f une fonction intégrable sur (X \times Y)\, à valeurs dans [0,\infty[ (notée f \in L^+(X \times Y)).

Alors:

  • x \mapsto \int_Y f(x,y) d\nu(y) appartient à L + (X)
  • y \mapsto \int_X f(x,y) d\mu(x) appartient à L + (Y)
  • Si on note \mu \times \nu\, la mesure produit, alors:
\int_{X \times Y} f \, d(\mu \times \nu) = \int_X \left[ \int_Y f(x,y) d\nu(y) \right] d\mu(x) = \int_Y \left[ \int_X f(x,y) \,d\mu(x) \right] d\nu(y)