Théorème de Fubini

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Le théorème de Fubini est étrangement lié au théorème de Tonelli. Il s'agit d'intégration de fonction à variables multiples au sens de Lebesgue. Tonelli fournit une façon de trouver que la fonction est L1, tandis que le théorème de Fubini donne une façon de calculer son intégrale sur le domaine considéré. En bref :

Tout d'abord on note : Rn = Rn'.Rn''. Si f \in L_1(R^n) (\int_{R^n} \left|f(x)\right|\,dx < \infty ) Alors

  1. Pour presque tout x'' \in R^{n''} : f(.,x'') \in L_1(R^{n'})
  2. x'' \to \int_{R^{n'}} f(x',x'')\, dx' \in L_1(R^{n''})
  3. \int_{R^{n'}}\int_{R^{n''}} f(x',x'')\, dx'\, dx''=\int_{R^{n''}}\int_{R^{n'}} f(x',x'')\, dx'\, dx''


Une application pratique importante du théorème de Fubini est la possibilité d'inverser l'ordre des intégrales dans l'intégrale d'un produit de fonctions L1 de variables distinctes.

Source : Eric J.M. Delhez (Juillet 2003), Analyse mathématique 2e partie, édité par la Centrale des Cours de l'A.E.E.S. (Université de Liège)