Discuter:Théorie du chaos

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3 et 4 décembre 2006.

Sommaire

[modifier] En travaux

Je propose finalement une réécriture quasi-complète de cet article, dont la source principale semble avoir été le livre à succès du journaliste James Gleick, hélas à la fois largement incorrect sur le plan des développements historiques (non, le chaos n'est pas né en 1963 avec Lorenz), et assez peu rigoureux sur le plan scientifique.

Zweistein 9 mai 2006 à 09:17 (CEST)

La réorganisation de l'article continue conjointement aux deux articles connexes : système dynamique et théorie ergodique, l'ensemble étantest supposé former un tout indissociable.

Zweistein 14 mai 2006 à 15:51 (CEST)

[modifier] Question de signe

"Question impertinente : Peut-on dire que la condition de croissance de l'incertitude est en exponentielle de +t/tau sans aucune discution de signe? Evacuons le cas où tau est négatif et t positif, trop sympathique. Avec la condition en t sur tau, on désigne une classe de lois différente d'avec la condition "(valeur absolue de t) sur tau". Dans l'exemple du crayon qui perd son équilibre, tant qu'il ne s'est rien passé d'irréversible (sa pointe se brise assez vite), on peut calculer sa position initiale avec une bonne précision (par la comparaison énergie de rotation/énergie de translation), alors que dans le cas des planètes, on ne gagne rien en retournant le temps. Si l'on veut introduire une entropie, il me semble qu'il faut bien distinguer ces deux cas.

Rigolithe"

PS excuse à EL: une fausse manoeuvre m'avait fait rajouter ce texte au tien, c'est corrigé.

Attention, cette partie n'est pas fini ! Ce que j'ai écrit est certe très - trop - simplifié, mais il s'agissit seulement de donner à ce stade une idée du phénomène de sensibilité aux conditions initiales (SCI). Comme je l'ai écrit plus haut sur cette page de discussion, la description mathématiquement correcte de la SCI est l'hyperbolicité de l'espace des phases, mise en évidence par Dmitri Anosov par analogie avec le flot géodésique de surfaces à courbure négative de la géométrie hyperbolique. Typiquement pour un flot hamiltonien, l'hypersurface d'énergie constante SE de l'espace des phases admet presque partout une décomposition du type : S_E = E_0 \oplus E_S \oplus E_I, où :
  • E0 est une variété à une dimension dans la direction du flot.
  • ES est la variété dite stable, dans des directions perpendiculaires au flot. Pour une perturbation dirigée selon ces directions, il y a contraction exponentielle vers le futur, ce qui correspond à des exposants de Lyapounov négatifs (cette variété est donc instable vers le passé.)
  • EI est la variété dite instable, dans des directions également perpendiculaires au flot. Pour une perturbation dirigée selon ces directions, il y a dilatation exponentielle vers le futur, ce qui correspond à des exposants de Lyapounov positifs (cette variété est donc stable vers le passé.).
Le fait qu'il existe nécessairement certaines directions contractantes complémentaires aux directions dilatantes peut être vu comme une conséquence du théorème de Liouville, qui dit que le flot hamiltonien préserve le volume dans l'espace des phases. (Pour un système chaotique dissipatif, il n'y a pas nécessairement de directions contractantes partout dans l'espace des phases, mais il existe en général au moins un sous-ensemble « attracteur » dans cet espace des phases sur lequel la dynamique est hyperbolique presque partout.)
Zweistein 10 mai 2006 à 12:03 (CEST)

[modifier] Linéaire/non linéaire ?

J'ai réécrit l'introduction, qui insistait trop - à mon avis à tort - sur l'opposition linéaire/non-linéaire. Certes, de nombreux systèmes chaotiques sont non-linéaires, mais on peut parfaitement intégrer de façon exacte certaines équation différentielles non linéaires ! Par exemple, toutes les équations du premier ordre du type :

\frac{dx(t)}{dt} \ = \ k \ x^{\alpha}(t)

(k constante) sont non-linéaires lorsque \alpha \ne 1, et elles possèdent pourtant une solution analytique exacte, qui s'obtient par séparation des variables :

\int_{x_0}^{x(t)} \frac{dx}{x^{\alpha}} \ = \ k \ \int_0^t dt

qui donne :

\left[ \ \frac{1}{x^{\alpha-1}} \ \right]_{x_0}^{x(t)} \ = \ (1-\alpha) \ k \, t

soit (sauf erreur de calcul) :

x(t) \ = \ \frac{x_0}{\left[ \ 1 + (1-\alpha) \, x_0 \, k \, t \ \right]^{1/(\alpha-1)}}

Et même lorsque une intégration exacte en termes de fonctions élémentaires n'est pas possible, une dynamique non-linéaire n'est pas toujours synonime de chaos : citons par exemple le pendule simple :

\frac{d^2 \theta (t)}{dt^2} \ + \ \omega_0^2 \sin \theta(t) \ = \ 0

qui est un exemple de régularité !

Zweistein 2 mai 2006 à 22:31 (CEST)

[modifier] Image

J'ai uploadé une version plus petite et plus contrastée de mon image mais c'est toujours l'ancienne qui apparait. Qu'est ce qu'on peut faire ? Il faut d'abord effacer l'ancienne ? Traroth 8 jul 2003 à 16:13 (CEST)

fallait juste faire un refresh. C'est mon navigateur qui a fumé la moquette... Traroth 8 jul 2003 à 16:13 (CEST)

La première image que j'avais uploadé etait trop sombre et passait mal à l'impression. Là, c'est mieux. En plus, ces 2 là illustre mieux le principe fractal des attracteurs. Toutes ces images sont des copies d'écran d'un petit générateur écrit en java. Traroth 9 jul 2003 à 10:55 (CEST)

Il faudrait p'etre parler du battement d'ailles de papillon, non ? Aoineko 9 jul 2003 à 11:09 (CEST)
Cet article a la pretention d'etre un article de mathématiques. Si tu penses qu'une citation de Lorenz a sa place dedans, libre à toi. Il faudrait toutefois en laisser pour la biographie de Lorenz, non ? Traroth 9 jul 2003 à 12:05 (CEST)

Je trouve que pour un "article de qualitée", il n'est pas si bien, | il faudrait la compléter, meme si je n'ai pas la prétention de pouvoir le faire.

[modifier] Suppression de deux points douteux

«On peut donc dire que les systèmes chaotiques combinent des caractéristiques déterministes et aléatoires.» Que je sache, les équations gouvernant les systèmes chaotiques sont déterministes. Non linéaires, mais déterministes. Rien d'aléatoire là-dedans, donc.

Autre chose : l'exemple du gravier au sommet de la coline ne me semble pas pertinent. Un système instable n'est pas nécessairement chaotique. Si mes souvenirs de licence (certes un peu lointain maintenant) sont bons, l'attracteur du système gravier-colline est... un point de son espace des phases : position = bas de la colline; vitesse relative dans le référentiel de la maison bleue (si, si, celle qui est adossée) = 0. On est loin de l'attracteur étrange.

Désolé, si la colline est un cône, par exemple, l'attracteur sera le cercle au bas de la colline, et encore, si le bas de la colline est plat, ce sera un disque, sans que la position finale du gravier ne puisse être prédite ... François Martin-Vallas 23 octobre 2005 à 16:04 (CEST)

Je crois qu'il est préférable de supprimer ces passages. Et pour éviter que quelques étudiants aventureux ne fasse marrer leur prof en rapportant ces propositions hasardeuses, je m'en charge dès maintenant (avec d'autant moins d'anxiété qu'il est possible de les replacer).--EL 7 mai 2005 à 12:42 (CEST)

[modifier] Quelques autres doutes

Je crois également me souvenir que se sont les attracteurs étranges qui signalent un système chaotique. La sensibilité au condition initiale est certes une caractéristique d'un système chaotique, mais des systèmes non chaotiques peuvent également être sensible aux conditions initiales.

Il faudrait aussi expliquer un peu mieux ce qu'est cette SCI. Je crois vaguement me souvenir que cela à voir avec la divergence exponentielle de deux trajectoires de l'espace des phases.--EL 7 mai 2005 à 12:41 (CEST)

Non, l'existence d'un attracteur étrange n'est pas indispensable ! On peut résumer les propriétés essentielles d'une dynamique chaotique par la combinaison de deux ingrédients :
  • la SCI (mathématiquement, l'hyperbolicité de l'espace des phases, mise en évidence par Dmitri Anosov par analogie avec le flot géodésique de surfaces à courbure négative de la géométrie hyperbolique. A cette hyperbolicité sont associées les notions d'exposant de Lyapounov, qui mesurent la divergence exponentielle locale des orbites dans l'espace des phases, et celle d'entropie de Kolmogorov-Sinaï.)
  • une forte récurrence dans l'espace des phases (cf. l'article théorie ergodique)
Pour en savoir plus, lire e.g. les références citées aux articles théorie ergodique, systèmes dynamiques et flot géodésique que j'essaie de compléter, avant de passer à celui-ci ! ok
Zweistein 2 mai 2006 à 22:55 (CEST)

[modifier] Tous comptes faits...

Je crois qu'il faudrait reprendre toute la partie descriptive, qui à l'air de confondre systèmes sensibles aux conditions initiales et systèmes chaotiques, et qui a un peu de mal également avec les notions de déterminismes et de systèmes aléatoires. Les notions de predictibilité et d'espace des phases semblent pas trop bien digérées. Elles sont introduites sans trop qu'on sache vraiment pourquoi. Je ne suis pas sûr que le lecteur non familiarisé avec ces termes ressorte de cet article en ayant vraiment compris qqch d'autre que ce qu'il aurait put retenir d'un vague survol d'un papier dans Science et Vie (pas réputé pour sa rigueur).

Et puis l'exemple du cercle non plus il est pas super clair. Surtout, j'ai du mal à voir en quoi il illustre un système chaotique. Même la divergence sur l'erreur initiale sur l'angle est linéaire. Là encore, je crois que c'est une erreur imputable à l'insistance sur la notion de SCI.

Insistance qu'on retrouve également dans l'historique. Qui d'ailleurs ne cause quasiment pas de la non linéarité, pourtant centrale. Le descriptif, lui, n'en cause pas du tout.

Bon, ben je crois que c'est tout l'article qu'il faut reprendre...--EL 7 mai 2005 à 12:41 (CEST)

même diagnostic. gem 13 jun 2005 à 21:48 (CEST)

ben pareil. je suis hyper dessus... pas un mot de Feigenbaum, on ne voit pas du tout la topologie en tant que geometrie, mais comme une affreuse abstraction. bon, il faut quelqu'un de courageux :) au final... http://fractals.iut.u-bordeaux1.fr/jpl/dimension.html, belle introduction

[modifier] Ooops

Sauri, j'avais zappé le bandeau, j'ai rajouté un espace manquant. J'espère que ça n'a bloqué personne. Rigolithe 2 juin 2006 à 09:16 (CEST)

Pas de pb ! Le bandeau est là pour préciser que je bosse sur cet article (très lentement, mais surement), mais tu peut bien-sûr faire des corrections cosmétiques ...


Puisqu'il vaut mieux ne pas éditer, je me contente de signaler ici, et j'y vais de ma critique:

Merci de tes remarques ; n'hésites pas à intervenir si tu as des compétences sur le sujet, je ne suis pas ommniscient. Par exemple, suite à une remarque sur l'absence de mention à Feigenbaum, j'ai introduit le paragraphe : Transition d'une dynamique régulière vers le chaos, qui reste à compléter (sujet que, personnellement, je ne connais que moyennement). Il manque également tout un paragraphe sur l'analyse de séries temporelles empiriques (issues de domaines divers : biologie, médecine, ...) et la reconstruction a posteriori d'attracteurs dans des espaces des phases de petites dimensions. Actuellement, mes contributions sont surtout centrées sur la (grosse) partie Développements historiques, qui introduit progressivement l'évolution des idées depuis Lyapounov et Poincaré. Malheureusement, je n'ai pas que ça à faire, donc ça avance très lentement ...


La réponse à cette quastion est oui ET non :

Le lien sur Lorenz renvoie à la page d'homonymie Lorentz, où on trouve Edward Lorenz. Pourquoi un aiguillage en deux temps au lieu d'un lien direct?

C'était une erreur ; corrigée.


Le dessin de l'attracteur est une excellente illustration, mais je ne le trouve commenté nulle part. Il le trouverais plus attractif avec en légende les équations et le système d'axes, au besoin sur un menu déroulant: c'est le genre de situation où ils pourraient être utiles.

L'attracteur étrange de Lorenz est commenté plus bas, au paragraphe : Lorenz & la météorologie ; j'ai rajouté cette précision dans l'intro. J'avais crée par ailleurs un article spécifique : système dynamique de Lorenz, qui contient les équations du modèle, la référence à l'article original (et qui peut bien-sûr être complété). J'essaie en fait de garder le paragraphe : Introduction de l'article la plus accessible possible, notamment en n'y mettant volontairement aucune d'équation, seulement quelque "belles images" typiques du domaine.


"cet ordre nouveau" me titille. Est-ce parce que ce fut le nom d'un mouvement (interdit) d'extrème droite? Je trouve que "ce nouvel ordre" irait aussi bien.Rigolithe 2 juin 2006 à 10:12 (CEST)

Aucune intention de ma part ! Si ça pose problème, je change "en nouvel ordre" ...
Zweistein 2 juin 2006 à 13:57 (CEST)

Je m'en doute bien! Il aurait fallu que tu sois diablement précoce pour savoir lire à cette époque. Je dis que la tournure me heurte l'oreille, mais comme je ne la trouve pas incorrecte, que c'est sans doute une vague réminiscence: pas de problème. Puisque tu t'intéresses à la musique, en t'écoutant lire tu dois bien entendre si ça sonne comme il faut. Pour ce qui est de t'aider, ne compte pas sur moi: la curiosité ne supplée pas la compétence. Mais si l'art m'est difficile, la critique est encore à ma portée.

Et bravo pour le résultat déjà obtenu.Rigolithe 2 juin 2006 à 21:08 (CEST)

[modifier] Vulgarisation

Vous pensez pas qu'il serait utile de vulgariser un peu l'article ? Moi je connais rien dans le dommaine et après avoir lu le début de l'article, j'en connais pas plus. Ça peut être pratique pour les conaisseurs mais pour quelqu'un qui est simplement curieux, bonne chance! Vincent1969 @ 3 décembre 2006 à 04:21 (CET)

[modifier] Bibliographie

Aux éditions du pommier, Ivar Ekeland a sorti cet an (2006) un second ouvrage titré "le chaos". Je ne sais s'il s'agit d'une réactualisation de l'ouvrage paru en dominos/flammarion ou d'un ouvrage inédit. En tout cas, pour la tanche en maths que je suis, c'est excessivement lisible. (->Jn) 3 décembre 2006 à 18:08 (CET)

[modifier] Cadres

Qu'est-ce que ces cadres orange/rose qui parsèment l'article ? Je trouve ca très peu esthetique et je doute que cela apporte quelque chose en plus à l'article. --- Cylence (discuter) 3 décembre 2006 à 19:51 (CET)

[modifier] Attracteur étrange de Lorenz

Bonjour !

Concernant l'image du l'attracteur de Lorentz, Il y a ca sur commons. Elle est plus jolie mais beaucoup moins exacte que celle déjà présente. Je propose cela car j'entends parler de vulgarisation. Que fait-on ?

Précision ?

ou esthétique ?

--Rogilbert ­­­­­­∞ 5 décembre 2006 à 11:58 (CET)

Tu peux mettre l'image "esthétique" dans l'introduction de cet article pour "appâter" le lecteur, car il existe aussi un article spécifique Système dynamique de Lorenz (à développer) où l'image "scientifique" est à sa place.
Ceci dit, le corps de cet article "Théorie du chaos" (en cours d'écriture, bien que cela n'avance pas beaucoup en ce moment) n'est pas de la vulgarisation : la théorie du chaos utilise des concepts mathématiques précis, qui doivent être présentés tels quels. Si quelqu'un veut écrire un article du style "Théorie du chaos pour les nuls", il peut le faire ailleurs.
Zweistein 5 décembre 2006 à 22:55 (CET)
Deux chapitres plus haut, quelqu'un propose de vulgariser et sur le projet:mathématiques, Théorie du chaos est placé dans "Articles à potentiel AdQ vulgarisant des notions mathématiques plus élevées", d'ou ma déduction. Cordialement, --Rogilbert ­­­­­­∞ 6 décembre 2006 à 10:08 (CET)
Je suis physicien, je n'étais pas au courant de ce projet maths. Quel est le sens de "Articles à potentiel AdQ vulgarisant des notions mathématiques plus élevées" ? S'agit-il de faire un article purement littéraire comme : Chaos theory ? Dans ce cas, il suffit de traduire l'article anglais.
Le problème du "niveau" des articles scientifiques est récurrent ici (cf e.g la relativité), c'est pourquoi je proposait de faire deux articles, avec deux niveaux de lectures différents ; les fondateurs de la Wiki avaient pour ambition de dépasser la Britannica (Universalis), qui n'est pas une encyclopédie "élémentaire". Cordialement, Zweistein 6 décembre 2006 à 17:28 (CET)
Je suis d'accord. Pour une version simplifiée, on pourrait proposer l'article à Wikipédia Junior ? Ce projet a pour but de vulgariser des notions très complexes, pour qu'ils puissent être compris par des plus jeunes. Cordialement, --Rogilbert ­­­­­­∞ 6 décembre 2006 à 21:44 (CET)

[modifier] Henri Poincaré et le troisième attracteur

Dans sa dissertation doctorale, Poincaré a montré qu'avec deux atracteurs (gravitation et magnétisme), le battement pendulaire est encore entièrement prédictible et devient complètement aléatoire avec l'introduction d'un troisième attracteur. C'était le commencement du chaos avec des déterminations multiples.

Takima 23 août 2007 à 23:21 (CEST)

[modifier] Article incomplet

À la vue des sections vides, cet article ne peut être complet. Par conséquent BD me semble une évaluation bien plus appropriée. Kelson (d) 4 février 2008 à 11:10 (CET)

[modifier] Poincaré et déterminisme

Poincaré ne s'attaque pas au déterminisme, mais seulement aux conclusions trop présomptueuses qu'en tirait Laplace. Et il utilise le mot même de "déterminer" dans la citation qui est mise en exergue: "Une cause très petite, qui nous échappe, détermine un effet considérable...". La théorie du chaos n'a rien d'indéterministe, au contraire de la mécanique quantique: ne pas confondre les deux. 132.166.28.125 (d)

[modifier] Liens externes

Le liens vers l'explication de la théorie du chaos en six parties ne fonctionne pas. Est-ce normal ? --Delomba (d) 18 avril 2008 à 13:08 (CEST)