Discuter:Tenseur

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Évaluation de l'article Tenseur
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OK, j'ai traduit l'article anglais et ajouté quelques petites choses sur la symétrie et les valences...J'ai aussi découvert un wikibook sur les tenseurs, qui est plus complet. C'est possible de faire un lien interne ? J'ai structuré un peu les opérations et regroupé les changements de base et la variance/contravariance -> au niveau de la structure, est-il possible de l'améliorer encore ?

cfu

Sommaire

[modifier] En mathématiques...

...il y a deux théories des tenseurs: celle présentée ici, une sorte de généralisation de la notion de vecteur et de matrice et utilisant des composant dans un système de coordonnée, et celle n'utilisant aucun système de coordonée utilisé en géométrie différentielle. Ce serait bien de présenter les deux. Y-a-t'il un spécialiste de géométrie différentielle dans la salle?

perso, je suis physicien, j'ai donc présenté le domaine comme je le connais... je laisse la place aux spécialistes... Cdang 21 oct 2003 à 22:55 (CEST) Christophe
Pas de problème, l'article est très bien fait. Hélas, je ne suis pas non plus spécialiste du tout sur le sujet. -- Looxix

Pour le changement de base, j'aurait tendance à le voir plutôt écrit de la façon suivante:

Dans la base B \begin{pmatrix}\vec{e}_1 \vec{e}_2 \vec{e}_3 \end{pmatrix}, les composantes du vecteur \vec{u} sont \begin{pmatrix}u_{1} & u_{2} & u_{3} \end{pmatrix}. Dans la base B' \begin{pmatrix}\vec{e'}_1 \vec{e'}_2 \vec{e'}_3 \end{pmatrix}, elles sont \begin{pmatrix} u'_{1} & u'_{2} & u'_{3} \end{pmatrix}. On cherche comment passer de l'une à l'autre des représentations.

Dans la base B', les vecteurs de la base B s'écrivent :

\vec{e}_{i} = \begin{pmatrix}e_{i1} e_{i2} e_{i3} \end{pmatrix}.

On peut ainsi définir la matrice de changement de base M :

M_{1} = \begin{pmatrix} e_{11} & e_{12} & e_{13} \\ e_{21} & e_{22} & e_{23} \\ e_{31} & e_{32} & e_{33} \end{pmatrix}

les colonnes de la matrice de changement de base sont les coordonnées des vecteurs de l'ancienne base dans la nouvelle. On a alors

\begin{pmatrix} u'_{1} \\ u'_{2} \\ u'_{3}\end{pmatrix} = M \cdot \begin{pmatrix}u_{1} \\ u_{2} \\ u_{3}\end{pmatrix}.
-- Looxix
Il faudrait regarder quand on n'a pas une matrice carrée (l'intérêt d'avoir une transposée d'un côté) - c'est pas bien difficile, mais j'ai la flemme (-:.
Cdang 23 oct 2003 à 17:31 (CEST) Christophe

L'article en:Tensor a l'air très bien fait, ce serait une bonne idée de le traduire. (NB: oui, il se pourrait que je contribue un jour à le traduire). C'est une intro, et il renvoie à deux (ou trois ?) articles sur la vision "physicienne" ("classique") et la vision "mathématicienne" ("moderne") des tenseurs. Probablement à traduire eux aussi. --FvdP 22 oct 2003 à 00:22 (CEST)

note: la vision "moderne" component-free est aussi largement utilisée en physique, notemment en relativité générale. -- Looxix

Et bien il y a une chose que je ne comprend pas c'est le paragraphe 1.3.1 Formes linéaires et changement de base. L'auteur présente une base seulement normée alors que plus loin il affirme que la base duale est orthonormée, ce qui est possible seulement si la base originale l'est (cela doit être du à l'utilisation du produit vectoriel qui n'est facile à calculer que dans des espaces orthonormés). Si quelqu'un peut m'éclairer sur le sujet, il serait le bienvenu...

[modifier] covariante/contravariante

Bonjour,

Il semblerait quen relativité générale, on utilise le terme de vecteur pour les composantes contravariantes, contrairement à ce qui est exposé ici, et de covecteur pour les composantes covariantes. C'est du moins cette notation qu'utilise mon professeur, et je l'ai retrouvée par exemple ici : http://sciences.ows.ch/physique/RelGeneraleDeb.pdf. N'étant pas un spécialiste, je laisse à d'autres le soin de confirmer...

Skippy le Grand Gourou.

[modifier] Somme/produit dans le nombre de composantes

J'ai cru déceler une erreur dans la première sous-section (Notion de tenseur), en ce qui concerne. Je crois que le nombre de composantes est respectivement mn et ∏i = 1,…n mi dans les deux exemples. Peut-être ai-je à tort assimilé le nombre de coefficients avec le nombre de composantes, dans quel cas il faudrait supprimer mes modifications et rendre le texte plus clair.

Doub.

[modifier] Vecteur != tenseur

Je ne vois pas ce que la partie "Changements de base" fait dans cet article. On y traite du changement de base d'un vecteur, et non d'un tenseur. De même, la partie "Composantes covariantes et contravariantes" traite de l'espace dual d'un espace vectoriel, qui est nécessaire pour introduire les coordonnées contravariantes et covariantes, utilisées justement pour les tenseurs, mais on ne va pas jusqu'à aborder ce sujet, qui justement est l'objet de l'article...

Qu'en pensez-vous ?

Zejames (réagir) 3 février 2006 à 11:02 (CET)

[modifier] Notion de tenseur

J'aurais plutôt vu

Un tel tenseur d'ordre n représente une application multi-linéaire de E \times E \times ... \times E dans E :

En effet, si je prend l'exemple d'une matrice de changement de base (donc un tenseur d'ordre 2 si j'ai bien compris) l'application associe à un vecteur un vecteur c'est donc une application de E dans E (et non pas \mathbb{K}). Si un mathématicien veux bien confirmer et corriger le cas échéant...

[modifier] remarques

les formules de changement de coordonnées des vecteurs u et f sont dérangeantes, les nouvelles coordonnées ayant les memes noms que les anciennes ! je ne vois pas bien ou on utilise une matrice transposée dans le changement de base pour les coordonnées covariantes. il me semble que la transformation de coordonnées contravariantes utilise par contre la matrice inverse et transposée, c'est a dire que la formule de transformation de f écrite fait passer des nouvelles aux anciennes coordonnées (impossible a savoir compte tenu des notations)


je ne pense pas que vulgarisation devrait signifier d'ignorer les erreurs !

Atome Kid (réagir) 28 novembre 2006 à 19:07 (CET)

Le produit alternatif, kézako ? Merci de m'éclairer.