Réseau réciproque

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Un cristal peut se décrire comme un réseau aux nœuds duquel se trouvent des motifs : atome, ion, molécule.

Si l'on appelle $(\vec{e_1}, \vec{e_2},\vec{e_3})$ les vecteurs définissant la maille élémentaire, ces vecteurs définissent une base de l'espace. On peut définir une base réciproque par $(\vec{e^*_1}, \vec{e^*_2}, \vec{e^*_3})$ vérifiant ^[1]

$\vec{e_i}.\vec{e^*_j} = \delta_{ij} = \begin{cases} 1, & \text{si }i=j \\ 0 & \text{si }i\ne j \end{cases}$

ce qui donne

$\vec{e^*_1} = \frac{1}{V} \cdot \vec{e}_2 \wedge \vec{e}_3$

$\vec{e^*_2} = \frac{1}{V} \cdot \vec{e}_3 \wedge \vec{e}_1$

$\vec{e^*_3} = \frac{1}{V} \cdot \vec{e}_1 \wedge \vec{e}_2$

où V est le volume de la maille.^[2]

Les points ayant des coordonnées entières dans le repère $(O, \vec{e^*_1}, \vec{e^*_2},\vec{e^*_3})$ forment un réseau appelé réseau réciproque.

[modifier] Application

L'étude des cristaux se fait en général par diffraction d'un rayonnement ayant une longueur d'onde de l'ordre de la distance inter-atomique. À partir de la figure de diffraction obtenue, on peut déterminer la forme du réseau, et donc la structure du cristal.

Si l'on appelle

$\vec{k}$ le vecteur d'onde du rayonnement incident ;
$\vec{k'}$ le vecteur des ondes diffusées dans une direction donnée ;
$\vec{K}$ le vecteur de diffusion (ou vecteur de diffraction) défini par $\vec{K} = \vec{k'} - \vec{k}$ ;

alors la condition de diffraction sur un monocristal est donnée par le théorème de Bloch :

il y a diffraction si $\vec{K}$ est un vecteur du réseau réciproque.

[modifier] Table des réseaux réciproques

Pour trouver le réseau réciproque il faut considérer la maille primitive. On utilise par contre couramment des réseaux non-primitifs, comme le cubique centré (2 nœuds par maille) et le cubique faces centrées (4 nœuds par maille).

Réseau (paramètre) :	Réseau réciproque (paramètre) :
cubique $\left(a\right)$	cubique $\left(\frac{2\pi}{a}\right)$
cubique centré $\left(a\right)$	cubique faces centrées $\left(\frac{4\pi}{a}\right)$
cubique faces centrées $\left(a\right)$	cubique centré $\left(\frac{4\pi}{a}\right)$

Ici on a posé $\vec{a^*}.\vec{a}=2.\pi$

[modifier] Note

↑ il existe deux manières de définir le vecteur d'onde ; soit sa norme est 1/λ, on a alors les formules indiquées ; soit sa norme est 2π/λ et on a alors $\vec{e_i}.\vec{e^*_j} = 2\pi\delta_{ij}$ et $\vec{e_m^*} = \frac{2 \pi}{V} \cdot \vec{e_n} \wedge \vec{e_p}$ où (m, n, p) est une permutation circulaire de (1, 2, 3)
↑ $V = \vec{e_m}.(\vec{e_n} \wedge \vec{e_p})$