Réciprocité cubique

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En mathématiques, la loi de réciprocité cubique fait référence à divers résultats reliant la résolubilité de deux équations cubiques reliées en arithmétique modulaire.

[modifier] Notations algébriques

La loi de réciprocité cubique est plus naturellement exprimée en termes d'entiers d'Eisenstein, c’est-à-dire, l'anneau E des nombres complexes de la forme

z = a + b\,\omega

où a et b sont des entiers et

\omega = \frac{1}{2}(-1 + i\sqrt 3) = e^{2\pi i/3}

est une racine de l'unité cubique complexe.

Si \pi\, est un élément premier de E de norme P et \alpha\, un élément premier avec \pi\,, nous définissons le symbole résidu cubique \left(\frac{\alpha}{\pi}\right)_3\, comme étant la racine cubique de l'unité (puissance de \omega\,) satisfaisant

\alpha^{(P-1)/3} \equiv \left(\frac{\alpha}{\pi}\right)_3

De plus, nous définissons un nombre premier primaire comme étant congru à -1 modulo 3. Alors, pour des nombres premiers primaires distincts \pi\, et \theta\, la loi de réciprocité cubique est simplement

\left(\frac{\pi}{\theta}\right)_3 = \left(\frac{\theta}{\pi}\right)_3

avec des lois supplémentaires pour les unités et pour les nombres premiers 1-\omega\, de norme 3 qui si \pi = -1 + 3(m+n\omega)\, alors

\left(\frac{\omega}{\pi}\right)_3 = \omega^{m+n}


\left(\frac{1-\omega}{\pi}\right)_3 = \omega^{2m}

[modifier] Références

  • David A. Cox, Primes of the form x2 + ny2, Wiley, 1989, ISBN 0-471-50654-0.
  • K. Ireland and M. Rosen, A classical introduction to modern number theory, 2nd ed, Graduate Texts in Mathematics 84, Springer-Verlag, 1990.
  • Franz Lemmermeyer, Reciprocity laws: From Euler to Eisenstein, Springer Verlag, 2000, ISBN 3-540-66957-4.

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