Discuter:Produit direct (groupes)

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[modifier] Raison de l'enrichissement

L'article devient un peu léger pour répondre aux besoins que crée groupe abélien de type fini ou Produit tensoriel et représentations de groupes finis. C'est la raison de l'enrichissement. Jean-Luc W 14 mars 2007 à 09:27 (CET)

Les exemples sont enrichis de la manière suivante: on garde le cas simple en introduction, on introduit le produit trivial pour le vocabulaire, le cas cyclique est traité car c'est l'exemple abélien général le plus simple, puis un cas de produit de groupes infini et un cas de produit de groupes de Lie, choisis les plus simples possibles. Jean-Luc W 14 mars 2007 à 11:45 (CET)

L'article commence à être plus complet, il manque encore l'aspect topologique. L'aspect des groupes topologiques est un peu difficile, les démonstrations sont pour l'instant absentes dans WP.

Il manque de plus l'article sur la structure de groupe abélien fini. Je préfère patienter et traiter avant l'aspect des caractères du groupe duale et de l'analyse harmonique avant celui là, sinon il devra être réformé en fonction de ces trois articles. Jean-Luc W 14 mars 2007 à 17:34 (CET)

Bravo, mais une critique sur l'introduction. Pourquoi supposer que les groupes de Lie aient un nombre fini de composantes ? Pourquoi affirmer que le produit direct correspond à une extension de groupes alors que c'est une extension ? Sinon, c'est bien. Ekto - Plastor 14 mars 2007 à 19:21 (CET)

Pourquoi supposer que les groupes de Lie aient un nombre fini de composantes ?

Parceque dans le cas général, si G est un groupe abélien quelconque muni de la topologie totalement discontinue et H un groupe de Lie connexe, je ne sais pas traiter avec démonstration à l'appuis que GxH est un produit de groupes abéliens connus et je ne connais aucune référence à citer pour la démonstration qu'il faudra bien un jour ajouter. Dans le fond, même s'il existe une démo pour le cas ou G est dénombrable, et à moins que la démo soit simple, je ne vois pas vraiment l'interêt (sauf si une application importante m'échappe).

Pourquoi affirmer que le produit direct correspond à une extension de groupes alors que c'est une extension ?

Une erreur à corriger. Jean-Luc W 14 mars 2007 à 22:30 (CET)

PS: L'article sur les groupes de Lie abélien contient une petite imprécision me semble-t-il. Le groupe des isométries linéaires du plan sur les réels est un groupe de lie isomorphe à Z/2Z x T₁. C'est un groupe de Lie abélien compact mais je ne suis pas sur qu'il soit isomorphe à un tore ou à un produit direct de copies de R et de R/Z.

En fait, une variété différentielle est avant tout un espace topologique supposé dénombrable à l'infini (= σ-compact et localement compact). La raison profonde est de pouvoir introduire des partitions de l'unité pour pouvoir construire effectivement des objets. Bien sûr, c'est discutable, dans la mesure où il suffirait de supposer que chaque composante connexe le soit.

Pour un groupe de Lie, cette question n'est pas soulevée car tout groupe topologique localement compact connexe est dénombrable à l'infini. La composante neutre d'un groupe de Lie est donc dénombrable à l'infini et les autres composantes lui sont homéomorphes. Reste à savoir si on considère n'importe quel groupe comme un groupe de Lie de dimension 0, ou si on exige qu'il soit effectivement dénombrable.

Je fais systématiquement l'hypothèse (discutable) qu'un groupe de Lie est dénombrable à l'infini.

Le produit direct d'un groupe de Lie de dimension n par un groupe dénombrable (pas nécessairement abélien) est un groupe de Lie de dimension n. La démonstration est pratiquement immédiate : le produit d'une variété différentielle par un ensemble discret dénombrable est une variété différentielle de même dimension, et dans le cas présent, les lois sont effectivement différentiables.

Le résultat reste vrai pour les produits semi-directs sous l'hypothèse que l'action soit différentiable.

Merci pour avoir repéré l'erreur sur groupe de Lie commutatif : il manquait évidemment l'hypothèse de connexité, sans quoi le résultat est évidemment faux.

Ekto - Plastor 15 mars 2007 à 07:58 (CET)

Ton hypothèse ne me choque pas, mais dans le cas général, si R est un Groupe de Lie un peu retord, Soit C la composante connexe de l'unité, pas de problème pour la classification de C, il reste I = R/C. Tu prends la convention louable d'imposer à I d'être dénombrable, cela ne le rend pas classifiable pour autant. La proposition pourrait prendre la forme : tout bon groupe de Lie est produit direct d'un groupe I de classification inconnu et de C le produit d'un espace et d'un tore, mais à la fois cela me semble peu élégant et surtout inutile, je ne vois pas d'applications directes utilisant un tel groupe. Jean-Luc W 15 mars 2007 à 16:31 (CET)

Je vois ce que tu veux dire. Plusieurs choses. La composante neutre est le quotient d'un groupe de Lie simplement connexe par un sous-groupe central discret. Il reste à classifier les algèbres de Lie et pour chacune caractériser les sous-groupes centraux discrets du groupe de Lie simplement connexe correspondant à automorphisme près, afin d'obtenir une classification exacte des groupes de Lie connexes.

Evidemment, la description complète des groupes de Lie non connexes impliquerait la classification exacte des groupes dénombrables. Dans ta remarque précédente, il ne s'agit pas forcément d'un produit direct (par exemple ). Je ne suis pas certain que la projection comporte des sections.

Bref. De plus, une classification exacte est peu intéressante à mon goût. Ekto - Plastor 15 mars 2007 à 20:35 (CET)

[modifier] Revers du paragraphe définition

Il existe de nombreux articles traitant des groupes et des produits cartésiens, les définitions sont données dans les articles associés. Une redite spécifique dans cet article n'est pas justifiée. Jean-Luc W 6 août 2007 à 01:46 (CEST)

[modifier] Clôture algébrique de F_2

Bonjour, cet exemple me semble assez malheureux. Il me semble que ce l'isomorphisme obtenu à la fin serait plus clair si on disait juste que le groupe additif d'un espace vectoriel de dimension n sur un corps k est isomorphe à (k,+)ⁿ. Parler de clôture algébrique, et de F_2 qui devient Z/2Z dans l'isomorphisme brouille les pistes. Quant à la dernière remarque, elle me semble juste, mais je ne suis pas sûr de son intérêt. Cordialement, Salle (d) 10 avril 2008 à 18:46 (CEST)

Je partage l'opinion de Salle, la multiplication ici n'a guère d'intérêt, elle complique inutilement la compréhension alors que le produit dénombrable d'un groupe cyclique (uniquement au point de vue de l'addition) est clairement dans le sujet. Jean-Luc W (d) 11 avril 2008 à 11:05 (CEST)