Primitives généralisées

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Sommaire

1 Définition
2 Primitives à une constante près
3 Continuité
4 Intégration par parties

[modifier] Définition

Soit $I = [a, b]$ un intervalle compact de $\mathbb{R}$ . Soit f une fonction intégrable sur I. Une fonction F définie sur I s'appelle primitive généralisée de f sur I si on a :

$F (v) - F (u)$ = $\int_{u}^{v}f(x)\,dx$ Pour tous réels u,v tels que $a\leq u<v \leq b$

Dans le cas particulier où la fonction f est continue, la fonction F est une primitive de f.

[modifier] Primitives à une constante près

La fonction f admet une infinité de primitives généralisées, deux d'entre elles différant d'une constante : Posons $\forall x \in [a,b]$ $g(x)=\int_{a}^{x}f(t)\,dt$ .

La fonction $g$ est bien définie car $\int_{a}^{x}|f(t)|\,dt=\int_{I}\mathbf{1}_{[a,x]}(t)|f(t)|\,dt\leq \int_{I}|f(t)|\,dt<+\infty$

pour $\forall x \in [a,b]$ ,par hypothèse sur f.

Par la relation de Chasles, on voit aussitôt que g est une primitive généralisée de f. Pour toute constante c, il est évident que $g + c$ est encore une primitive généralisée de f, ce qui montre que f admet une infinité de primitives généralisées.

Soit h la différence entre deux primitives généralisées de de f. On a alors $h (v) - h (u) = 0$ pour tous réels u,v tels que $a\leq u<v \leq b$ . On en déduit que $h (v) = h (a)$ pour tout $v\in[a,b]$ et donc que h est une fonction constante

[modifier] Continuité

Une primitive généralisée de f est nécessairement continue sur I. Il suffit de le prouver pour la fonction g citée précédemment. Soit $x\in I$ et soit $(x_k)_{k\geq 0}$ une suite d'éléments de $I$ convergeant vers $x$ . On a $g(x_k)=\int_{I}\mathbf{1}_{[a,(x_k)]}(t)|f(t)|\,dt$ Vérifions les hypothèses du théorème de convergence dominée. On a d'abord $\forall k \in \mathbf{N} \forall t \in I$ $|\mathbf{1}_{[a,(x_k)]}(t)|f(t)|\leq |f(t)|$ et par hypothèse, la fonction $| f |$ est intégrable sur $I$ . On a ensuite $\lim_{k \rightarrow + \infty} \mathbf{1}_{[a,(x_k)]}(t) = \mathbf{1}_{[a,x]}(t)$

pour tout t $\neq$ x, autrement dit presque partout. Par le théorème de convergence dominée, on conclut que la suite $(g(x_k))_{k\geq 0}$ converge vers $g (x)$ .

[modifier] Intégration par parties

Soient f, g deux fonctions intégrables sur I. Soient F et G des primitives généralisées de f et g respectivement. A l’aide du théorème de Fubini, on peut établir la formule d’ intégration par parties suivantes :

$\int_{a}^{b}f(x)G(x)\,dx$ $=$ $F(b)G(b)-F(a)G(a)-\int_{a}^{b}F(x)g(x)\,dx$ .

Considérons la fonction $(x,t)\mapsto f(x)g(t)\mathbf{1}_{[a,x]}(t)$ Elle est intégrable sur $I\times I$ car, par "Fubini positif",

$\int_{I\times I}|f(x)g(t)\mathbf{1}_{[a,x]}(t)|\,dxdt$ $\leq$ $\int_{I\times I}|f(x)g(t)|\,dxdt$ = $(\int_{I}|f(x)|\,dx)(\int_{I}|g(t)|\,dt)$ $<+\infty$