Discuter:Polynôme cyclotomique

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Phrase d'intro: on dit vraiment polynôme polynôme minimal (répétition du mot) ? Ripounet 24 juin 2006 à 21:31 (CEST)

Oups, une faute de frappe et merci pour la remarque. Jean-Luc W 24 juin 2006 à 23:06 (CEST)

Sommaire

[modifier] Discussion sur l'article

Voilà un bel article que je serais tenté de proposer en AdQ. Qu'en penses-tu ? Poux-tu le relire ?

Il me semble cependant qu'il manque des remarques sur la réduction des polynômes cyclotomiques modulo p. Peut-être y a-t-il matière à rajouter une section ? L'introduction doit être aussi clarifiée sur ce point. Peut-être faut-il aussi clarifier certains passages et étayer les démonstrations pour ne laisser aucun doute ? Sinon, je suis vraiment tenté de le proposer en AdQ !

Ektoplastor 11 janvier 2007 à 20:38 (CET)

J'ai pas bien une culture dans ce genre de directions, mais je jette un oeil, en trois secondes à le regarder il a en effet de la gueule, je m'y plonge un peu plus. Touriste ✉ 11 janvier 2007 à 20:43 (CET)
Après trois minutes et non plus trois secondes, je ne suis pas convaincu. Je suis très mis en appétit par la section historique 1-2 et je regrette que l'article soit loin de l'illustrer complètement. En fait il accorde une grande place aux problèmes de construction à la règle et au compas qui sont certes un thème intéressant (mais surtout historiquement, c'est en même temps un peu anecdotique) mais mériteraient à mon avis d'être évoqués plus brièvement avec relégation du contenu ailleurs, et ne va pas assez loin ; en gros aucun survol mathématiquement plus poussé de ce qui m'a mis en appétit en section 1-2. C'est à mon sens plutôt un premier tiers ou premier quart de très bonne qualité d'AdQ qu'un AdQ. Touriste ✉ 11 janvier 2007 à 20:49 (CET)
Tu fais référence à cette phrase en particulier:
toute équation algébrique résoluble par radicaux se ramène d'une manière ou d'une autre à un polynôme cyclotomique. La réponse est positive : toute extension abélienne du corps des rationnels est un sous-corps d'une extension cyclotomique. Ce résultat a demandé presque un demi-siècle d'effort pour pouvoir être démontré
Si oui, je suis tout à fait d'accord, elle peut faire l'objet d'une section particulière sur les extensions cyclotomiques. Ektoplastor 11 janvier 2007 à 20:56 (CET)
Sinon, je serais pour transférer les concstructions géométriques dans une section Application, où je proposerais aussi une preuve du thm de Wedderburn. Je transfère notre discussion là bas ! Ektoplastor 11 janvier 2007 à 21:00 (CET)
assez d'accord avec les remarques déjà faites : les problèmes de construction géométrique déséquilibrent l'article (il serait bon de synthétiser et déplacer le gros ailleurs), et la question des extensions cyclotomiques mérite un traitement plus développé. Ajouter Wedderburn est une bonne initiative ! Peps 11 janvier 2007 à 23:13 (CET)

Je demande de ne pas se précipiter. Il faudrait à tout le moins créer extension cyclotomique, et réfléchir à l'articulation des deux articles, pour pouvoir traiter correctement au moins des pans du contenu du livre de Washington (voir le modèle : (en) Lawrence C. Washington, Introduction to cyclotomic fields [détail des éditions]). Et je n'ai pas trop le temps en ce moment de m'y mettre.Salle 12 janvier 2007 à 11:01 (CET)

Ah oui, et j'ai prévenu Jean-Luc W de cette discussion. Ce serait bien d'attendre son avis.Salle 12 janvier 2007 à 11:03 (CET)

Je ne suis pas tout à fait d'accord. Dans un premier temps, celui de Gauss, l'outil de base est le polynôme, dont on découvre qu'il est élément d'un anneau euclidien. On parle alors de polynôme entier, irréductible de degré l'indicateur d'Euler, avec une unique grande application les polygones réguliers. La théorie de Galois n'existe pas encore, et c'est donc par la méthode des périodes de Gauss, une espèce de transformée de Fourier fini que l'on peut résoudre l'équation dans le cas des nombres premiers de Fermat.
Dans un deuxième temps, Galois apporte un nouveau regard. Le polynôme devient essentiellement anecdotique et l'outil de base devient l'extension. Ici commence une longue marche pour répondre à aux questions structurelles dont l'origine est la théorie des équations. S'il faut alors une cinquantaine d'années (1850 1900) pour comprendre la structure des extensions abéliennes, toujours sous-corps d'extensions cyclotomiques. L'axe est pour moi radicalement différent, l'article doit s'appeler extensions cyclotomiques et le groupe de Galois devient l'outil principal. C'est un vaste sujet à développer en connexion avec les articles Théorème de Kronecker-Weber, Théorème d'Artin-Schreier. Si cet axe ne convaint pas Touriste ou Salle ou Peps, c'est que j'ai tort et je n'insisterais pas.
L'article est écrit dans le sens d'une illustration de la théorie des anneaux euclidiens et des idées développées au début du XIXeme siècle, le reste de la théorie reste pour moi essentiellement dans le domaine des extensions et plus celui des polynômes.Jean-Luc W 22 janvier 2007 à 22:18 (CET)


PS: Au dire d'un lecteur attentif, je crois que le cosinus que j'ai calculé n'est pas le premier. Il va falloir que je corrige.
Je ne pense pas que ce soit avec moi que tu n'es pas d'accord, puisque je suis d'accord avec ce que tu décris, et par symétrie de la relation. Donc, on en est bien à écrire au moins une ébauche sur les extensions cyclotomiques, pour pouvoir ensuite regarder finement l'articulation ?Salle 23 janvier 2007 à 13:41 (CET)
Voilà, voilà, vous remarquerez le lien bleu extension cyclotomique, l'article ne demande qu'à croître.Salle 23 janvier 2007 à 14:11 (CET)
en fait pour moi le problème était plus de forme que de fond. Tu distingues avec raison deux problématiques successives ; dans l'historique tu en donnes l'articulation. Je suis complètement d'accord. Mais si tu n'en décris qu'une dans cet article-là, n'est ce pas un peu curieux ? on retombe souvent sur ce problème de l'"article central", celui à partir duquel les lecteurs se redistribuent sur des articles détaillés. Quel est l'article central, et que doit il contenir ? faut-il exploser l'historique en petits bouts ? ça ne me paraît pas une bonne solution. En même temps tout ce questionnement est sans doute prématuré par rapport à tout le matériau qui reste à créer. Peps 23 janvier 2007 à 14:24 (CET)
Mum, trops de personnes ont émis une opinion dans le sens de Peps pour qu'il n'y ait pas un fond de vérité. Dans mon idée initiale (sans concertation et donc pas forcément suffisament subtile) l'idée était la mise en évidence de l'évolution de la pensée mathématique.
Dans un premier temps, la structure algébrique apparaît simplement. Les bases d'une théorie des anneaux s'affirme. Les polynômes apparaissent comme élément d'un anneau euclidien (si elle se fonde sur un corps). Gauss découvre les entier de Gauss puis pour la Démonstrations du dernier théorème de Fermat on associe les entier d'Eisenstein et les entier de Dirichlet. On reste centré sur Euclide.
Dans un deuxième temps, et c'est un autre sujet, l'approche est profondément modifiée par la théorie des équations et Galois et l'impasse pour démontrer Fermat si n est plus grand que 10. Une problématique différente apparaît, celle de l' extension cyclotomique. J'ai un peu commencé la rédaction d'[Entier algébrique]] (dont je ne suis pas fier) j'avais en tête la rédaction des articles anneau de Dedekind et ramification et Kummer. Après on pouvait attaquer convenablement les extension cyclotomique et les travaux de Kronecker, Weber, Hilbert et Artin. Ici l'idée clé est plutôt Dedekind.
En conclusion l'article central était plus dans ma tête polynôme et Euclide pour polynôme cyclotomique et Groupe de Galois et Dedekind pour extension cyclotomique. Jean-Luc W 23 janvier 2007 à 18:21 (CET)

[modifier] Extensions cyclotomiques

[modifier] Théorème de Wedderburn

Fait, mais à relire, et à développer l'article théorème de Wedderburn car pour le coup, si on compare Sourire. Ektoplastor 11 janvier 2007 à 23:30 (CET)

Pour l'instant c'est un peu du n'importe quoi, j'ai bien pensé le faire, mais comme une grosse partie des applications traitent de la cryptographie et que je n'y connais que couic, j'ai laissé cela à d'autres plus compétent. C'est vrai que c'est une jolie application des polynômes cyclotomiques dans le cas des corps finis. Jean-Luc W 22 janvier 2007 à 21:53 (CET)

[modifier] Irréductibilité

A créer : une sous section pour parler de la réduction modulo les entiers. Ektoplastor 14 janvier 2007 à 21:46 (CET)

C'est sur, mais la priorité me semble d'écrire d'abord l'article sur Arithmétique modulaire trop pauvre, on ne sait pas à quoi ça sert, pourquoi Gauss a développé dans le même livre l'arithmétique modulaire et les polynômes cyclotomiques. Dans les mêmes idées, c'est toute la notion d'anneau euclidien qui doit être enrichi et connecté à ces articles. Jean-Luc W 22 janvier 2007 à 21:58 (CET)