Pendule adiabatique

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On appelle équation du pendule adiabatique l'équation différentielle :

$\ddot{x} + \omega^2(t)\cdot{x} = 0$ .

lorsque la pulsation $ω$ varie lentement; on dit alors qu'il y a adiabatisme mécanique. L'analyse WKB conduit à la remarquable conclusion qu'il existe un invariant adiabatique :

$E(t) = \hbar \cdot{\omega(t)}$ ,

c’est-à-dire $l (t) 3 θ(t) 4 = cste$

[modifier] Analyse WKB

L'analyse WKB (Wentzel, Kramers, Brillouin) convient particulièrement quand la pulsation devient très élevée (c-à-d quand $l (t)$ tend vers zéro ou $g (t)$ tend vers l'infini, dans l'analyse pendulaire).

Alors la solution approchée est :

$x(t) \simeq A\sqrt[4]{l(t)} \cdot\exp(\imath S(t)) + B\sqrt[4]{l(t)}\cdot\exp(-\imath S(t))$ ,

où $S (t)$ est la phase approchée, c’est-à-dire l'eikonale, primitive de la pulsation. Et les coefficients $A$ et $B$ sont ajustés au mieux avec les conditions initiales.

[modifier] Invariant adiabatique

Il en ressort que $l(t)\theta(t) \simeq \sqrt[4]{l(t)} k$

C’est-à-dire que $l(t)\theta^2 \simeq \frac1{\sqrt{l(t)}}$ , soit $E(t) \simeq \omega (t)$

On peut passer par une analyse en termes d'action, comme le font Landau ou Arnold : cela a le mérite d'avoir une vue plus globale du phénomène. Pour le cas simple qui était étudié ici, il semble que l'analyse précédente soit moins sophistiquée.

Évidemment cette analyse ne remplit pas du tout les conditions du botafumeiro ou de la balancelle.

[modifier] Remarque énergétique

Cette relation est étrange, si on n'y réfléchit pas bien :

Soit l'expérience de Galilée-Torricelli qui consiste à placer en dessous du point de suspension $O$ , du pendule de longueur $l$ , une pinule $P$ , avec $O P = a$ .

Immédiatement, Galilée et son élève ont compris que $M$ s'élèverait de la même hauteur, ni plus, ni même moins (par renvrsement du temps). C’est-à-dire que l'énergie ne varie pas du tout. Imaginons que nous effectuions l'opération en prenant $a$ de plus en plus grand : rien n'est changé. L'énergie reste constante :

l (1 - cos(θ 0)) = (l - a)(1 - cos(θ))

Mais ce n'est pas le cas si $a = v t$ avec $v$ très petit ; car on voit bien dans ce cas que lorsque le pendule appuie sur la pinule qui bouge, alors la pinule fournit un travail au système : son énergie augmente. Ce qui est remarquable est alors que la relation soit de cette forme simple (dans le cas des petites oscillations) et indépendante de $v$ (pour $v$ petit).