Pendule de Bessel

Un article de Wikipédia, l'encyclopédie libre.

Quand la longueur d'un pendule simple varie de manière affine: l(t)= lo + vt, on dit qu'il s'agit d'un pendule de Bessel, car la solution (pour de petites oscillations) s'exprime à l'aide des fonctions de Bessel. Si v est faible, on retrouve l'invariant adiabatique E(t)T(t) ( voir pendule adiabatique).

Sommaire

1 Équation du pendule de longueur variable
2 Équation de Bessel
3 Résolution avec les conditions initiales
4 Voir aussi

[modifier] Équation du pendule de longueur variable

Le pendule simple de longueur variable a pour équation pour cette loi temporelle de l(t) où sa dérivée seconde est nulle:

$l(t) \ddot{x} (t) + g(t) x(t) = 0$

Dans le cas habituel g est constant. Revenons à la fonction angulaire $\theta= \frac xl$ :

$l(t) \ddot{\theta}(t) +2v \dot{\theta}(t) + g \theta(t) =0$

Posons comme nouvelle variable sans unités $u = g \frac tv$ :

$l(u) \frac g{v^2} \ddot{\theta}(u) +2 \dot{\theta} (u)+ \theta (u)$

Puis pour simplifier, posons comme longueur $L= \frac {v^2}{g}$ :

$\frac{l(u)}{L} \ddot{\theta} (u) + 2 \dot{\theta} (u)+ \theta (u)= 0$

On reconnait l'équation circuit RLC avec self variable linéairement, c'est un problème classique (voir obtention de champs magnétiques intenses). On peut encore transformer cette équation.

[modifier] Équation de Bessel

On fait un nouveau changement de variable sans unités $\alpha= 2 \sqrt { \frac {l(u)}{L}}$ :

$2 \ddot{\theta} (\alpha) +2 \frac {\dot {\theta} (\alpha)}{\alpha}+\theta(\alpha)=0$

On change de fonction $y (α) = αθ(α)$ , et on finit par trouver une équation de Bessel avec n=1:

$\alpha^2 \ddot{y} (\alpha)+\alpha \dot{y} + (\alpha^2-1)Y = 0$

Les solutions sont les fonctions de Bessel, fonctions classiques de la physique mathématique (cf Campbell, par exemple):

$y(\alpha)=A \quad J_1(\alpha)+B \quad Y_1(\alpha)$

D'où: $\theta(\alpha)=A \quad \frac {J_1(\alpha)}{\alpha}+B \quad \frac {Y_1(\alpha)}{\alpha}$

[modifier] Résolution avec les conditions initiales

$\theta_0= A \quad \frac {J_1(\alpha_0)}{\alpha_0}+B \quad \frac {Y_1(\alpha_0)}{\alpha_0}$

$\dot{\theta_0}= -A \quad \frac {J_2(\alpha_0)}{\alpha_0}-B \quad \frac {Y_2(\alpha_0)}{\alpha_0}$

On résout ce système linéaire de deux équations à deux inconnues et qui donne finalement :

$A = \alpha_0 \frac {\theta_0 Y_2(\alpha_0)+ \dot{\theta_0} Y_1(\alpha_0)}{J_1(\alpha_0)Y_2(\alpha_0)-J_2(\alpha_0)Y_1(\alpha_0)}$ $B =-\alpha_0 \frac {\theta_0 J_2(\alpha_0)+ \dot{\theta_0} J_1(\alpha_0)}{J_1(\alpha_0)Y_2(\alpha_0)-J_2(\alpha_0)Y_1(\alpha_0)}$

On peut alors tracer $θ(t)$ à l'aide d'un logiciel.

On peut même vérifier graphiquement, que si v est faible, E(t)T(t) est une constante (pendule adiabatique). Il faut néanmoins se rappeler qu'on s'est toujours placé dans le cas des petites oscillations. Bien sûr, n'importe quelle méthode numérique type Runge-Kutta donne les mêmes résultats sans obtenir la formule générale.