Balancelle
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Soit un pendule simple, dont la masse, m , via un mécanisme interne à elle-même, peut s'élever ou descendre à son gré le long de la barre (sans masse) (c'est en quelque sorte une toute petite guernazelle). La longueur du pendule est variable (voir pendule simple de longueur variable).
En travaillant adroitement, le petit ciron accroît régulièrement l'amplitude du mouvement : c'est le principe de la balancelle, cas très simple d'une résonance pseudo-paramétrique (voir pendule simple à résonance paramétrique).
Sommaire |
[modifier] Amplification
Prenons le cas le plus simple d'amplification :
Le ciron est pendant le premier quart du mouvement pendulaire, sur le cercle de rayon l = a+h. Parti de M1 (d'élongation maximum, d'altiude z1), il atteint le point le plus bas B (altitude z=0) au quart de période T/4 .f(θ1).
Alors, brusquement, il développe une puissance infinie pendant un temps infiniment court, produisant un travail FINI, W, qui lui permet de grimper verticalement de B en H (d'altitude z = h).
Il se laisse balancer sur le deuxième quart du mouvement pendulaire,sur le cercle de rayon OH = a, parcourant l'arc de cercle HN2, en un temps T'/4 .f(θ2).
Au point N2, il est immobile. Il se laisse alors instantanément glisser le long de la barre au point M2 (d'altitude z2).
Il est prêt alors pour effectuer le retour selon le même principe trajet : arc M2B,BH,arc HN3,N3M3): 'est une sorte de figure de réel écossais, en forme de huit ("carré") allongé non fermé.
Le gain d'énergie est évidemment essentiellement dû à l'effet fronde du raccourcissement du rayon de a+h à a, dans le passage de B à H (pour plus, voir discussion).
Appliquer le théorème de l'énergie-puissance à l'équation du théorème du moment cinétique : dL/dt = -mgl sin θ,en multipliant par L et en intégrant :
(1 − cosθn + 1)a3 = (1 − cosθn)(a + h)3, soit :
Son altitude z = (a+h)(1-cosθ) ne cesse d'augmenter (à chaque aller-retour, d'un facteur (1+h/a)^6): lorsqu'elle dépasse 2(a+h); il passe en régime de tournoiement, que nous traiterons ultérieurement.
[modifier] Analyse énergétique
Il est clair que le ciron a fourni l'énergie qui l'élève : W = mg (z2-z1).
Démonstration :
Le ciron a une énergie mécanique constante de M1 à B (point le plus bas) : mgz1. En ce point, il développe une puissance infinie pour se déplacer sur la verticale de A en A' : à ce moment, le moment de la pesanteur est nul, ni bien sûr celui de la réaction en O, donc le moment cinétique, L, SE CONSERVE, donc la vitesse angulaire augmente brutalement : c'est l'effet fronde
ω2a2 = ω1(a + h)2
La conservation de l'énergie ensuite donne : 
, et donc :
C'est bien le raisonnement précédent.
Soit à évaluer le travail total du ciron W : considérer le cycle BHN2M2B.
Le travail de la pesanteur est nul, puisque la force mg est conservative.
Le seul moment où le ciron travaille est sur le segment BH, et sur le segment N2M2.
A part l'énergie de pesanteur récupérée (W1 = -mgh cos(theta2)), le ciron ne fournit aucun travail de N2 en M2.
Par contre de B en H ,le moment cinétique est conservé L1 = L2 = L et l'énergie cinétique augmente prodigieusement vite d'une valeur finie (à puissance infinie) de Ec1(B) = L²/2m(a+h)² à Ec'2(H) = L²/2m(a)²; soit une augmentation de Ec1(B) = mg.(a+h).(1-cosθ1 )à Ec'2(H) = mg.a.(1 - cosθ2) ; soit W2 = Ec'2(H)-Ec1(B) ; et de plus le ciron fournit W3 = mgh.
Donc au total, W = W1 + W2 + W3 = mgh (1 − cosθ2) +Ec'2(H)-Ec1(B) = mg(z2 − z1),
fin de démonstration.
Pour dire bref, l'effet fronde s'effectue à moment cinétique L= cste ; donc la vitesse angulaire ω augmente comme ~1/l², donc ω2l comme 1/l³; or ω2l2 comme z: d'où le résultat.
- Raisonnement dans le référentiel lié à la barre (dont la vitesse angulaire subit une discontinuité que nous supposerons "régularisée"): le travail des forces intérieures ne dépendant pas du référentiel, on doit retrouver le même travail W pour le ciron :
Ec2relatif(B)-Ec1relatif(B)=0 = W +W(pesanteur) nul + W(coriolis) nul + Wer(force d'Entraînement Radial,axifuge) + Weo (force d'entraînement orthoradial).
En procédant toujours sur le même parcours que précédemment, le travail Wer sur l'arc HN2 et sur l'arc M2B est nul (orthogonalité de la force et du déplacement), et aussi sur l'arc N2M2, mgh cos (theta2) car la force radiale y est mg cos(theta2). Sur l'arc BH, le travail Wer est négatif et énorme : à L =cste, nous avons déjà vu qu'il valait Ec1(B)-E'c2(H)(et il convient d'y rajouter -mgh car la force centrifuge doit compter avec le poids.
Le travail Weo est nul puisque la force ne se déplace qu'orthogonalement.
On retrouve bien le résultat précédent.
[modifier] Cas plus général
Nous avons pris ce parcours en huit "carré", mais il est bien évident que, en reprenant les résultats précédents, l'énergie sera augmentée chaque fois que l'intégrale 
prise sur un aller re-tour sera positive (soit une sorte de huit (figure de reel en danse écossaise) décrit dans le même sens que le "huit carré" précédent).
Il est clair que si le "huit" est décrit en sens contraire, le ciron récupère l'énergie de la balançoire et amortit le mouvement.
[modifier] Synchronisation à adapter
Il faut bien remarquer que cette amplification a lieu de manière non isochrone: souvent, quand l'amplitude devient proche de 180°, on voit les cirons qui manœuvrent mal; encore une fois c'est l(theta) qui compte et non l(t) dans ce type d'amplification. En ce sens, il y a différence avec l'amplification paramétrique de Mathieu-Hill.
Enfin, rien n'empêche de continuer ce mécanisme quand on est en régime de tournoiement : il faut simplement que le ciron, à la verticale se projette immédiatement à la distance (a+h) ; il décrira alors de plus en plus vite la trajectoire (formée de deux demi-cercles de raton R et R+h, joints par des segments verticaux de longueur h).
Le mécanisme inverse permet de ne plus tournoyer et de stabiliser peu à peu son attitude.
[modifier] Cas de perte d'énergie par frottement
Il est clair que si l'énergie perdue par frottement (soit fluide , soit solide) égale W, la demoiselle se balancera à amplitude constante : un enfant adopte cet asservissement quand ses parents jugent l'amplitude de son mouvement suffisante.
