Nombres premiers jumeaux

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En mathématiques, deux nombres premiers jumeaux sont deux nombres premiers qui ne diffèrent que de deux. Hormis pour la paire (2, 3), cette distance de deux est la plus petite distance possible entre deux nombres premiers.

Parmi les nombres premiers jumeaux, on trouve 5 et 7, 11 et 13 ou 821 et 823.

Le question qui se pose naturellement est la répartition des nombres premiers jumeaux. De nombreux chercheurs en théorie des nombres pensent qu'il en existe une infinité. Cette conjecture s'appelle la conjecture des nombres premiers jumeaux et s'énonce de la manière suivante

il existe une infinité de nombres premiers p tels que p + 2 soit aussi premier.

À ce jour [1], cette conjecture n'est pas encore démontrée.

Sommaire

[modifier] Nombres premiers jumeaux

[modifier] Définition

Soit (p,q) un couple de nombres entiers tel que p et q soient tous les deux des nombres premiers et p < q. On dit que (p,q) forme un couple de nombres premiers jumeaux si q = p + 2.

[modifier] Liste des premiers nombres premiers jumeaux

L'ensemble des nombres premiers jumeaux jusqu'à 1000 :

(3, 5) (5, 7) (11, 13) (17, 19) (29, 31)
(41, 43) (59, 61) (71, 73) (101, 103) (107, 109)
(137, 139) (149, 151) (179, 181) (191, 193) (197, 199)
(227, 229) (239, 241) (269, 271) (281, 283) (311, 313)
(347, 349 ) (419 , 421 ) (431 , 433 ) (461 , 463 ) (521 , 523 )
(569 , 571 (599 , 601 ) (617 , 619 ) (641 , 643 ) (659 , 661 )
(809 , 811 ) (821 , 823) (827 , 829 ) (857 , 859 ) (881 , 883 )

[modifier] Quelques propriétés

  • Le couple (2,3) est le seul couple de nombres premiers consécutifs (bien que ne concernant pas les nombres premiers, 2 et 3 constituent aussi les seuls couples de base^puissance consécutifs (3^2 - 2^3 = 1) selon le théorème de Catalan conjecturé par Eugène Charles Catalan en 1844 et démontré en 2002 par Preda Mihăilescu!)
  • En omettant le couple (2,3), 2 est la plus petite distance possible entre deux nombres premiers ; deux nombres premiers jumeaux sont ainsi deux nombres impairs consécutifs.
  • Tout couple de nombres premiers jumeaux (à l'exception du couple (3,5)) est de la forme (6n − 1,6n + 1) pour un certain entier n. En effet, toute série de trois nombres entiers naturels consécutifs comporte au moins un multiple de 2 (éventuellement deux) et un seul multiple de 3 ; ces deux multiples sont confondus entre les deux nombres premiers jumeaux.
  • Il est possible de démontrer que, pour tout entier m \ge 2, le couple (m,m + 2) est constitué de nombres premiers jumeaux si et seulement si 4[(m-1)! + 1] + m \equiv 0 \mod m(m+2). Cette caractérisation modulaire et factorielle des nombres premiers jumeaux a été découverte par P. A. Clement en 1949[2].
  • La série des inverses de nombres premiers jumeaux est convergente vers la constante de Brun, au contraire de la série des inverses de nombres premiers. Cette propriété fut démontrée par Viggo Brun en 1919[3].

[modifier] Record

Le 15 janvier 2007, deux projets de calcul distribué, Twin Prime Search et PrimeGrid, ont découvert le plus grand couple de nombres premiers jumeaux actuellement connu (c’est-à-dire en janvier 2007). Le découvreur est le français Éric Vautier[4].

Le couple record est 2003663613 × 2195000±1 ; les deux nombres possèdent 58 711 chiffres en écriture décimale.

[modifier] Conjecture des nombres premiers jumeaux

La conjecture des nombres premiers jumeaux affirme qu'il existe une infinité de nombres premiers jumeaux. Bien que la plupart des chercheurs en théorie des nombres pensent que cette conjecture est vraie, elle n'a jamais été démontrée. Ils se basent sur des observations numériques et des raisonnements heuristiques utilisant la distribution probabiliste des nombres premiers.

En 1849, Alphonse de Polignac émit une conjecture plus générale d'après laquelle :

« Tout nombre pair est égal à la différence de deux nombres premiers consécutifs d'une infinité de manières [5] »

Le cas n = 2 correspond à la conjecture des nombres premiers jumeaux.

Il existe également une version plus forte de cette conjecture : la conjecture de Hardy-Littlewood, qui fournit une loi de distribution des nombres premiers jumeaux et qui s'inspire du théorème des nombres premiers.

[modifier] Résultats partiels

En 1940, Paul Erdős démontra l'existence d'une constante c < 1 et d'une infinité de nombres premiers p tels que :

p' − p < cln(p) où p' désigne le nombre premier suivant immédiatement p.

Ce résultat fut plusieurs fois amélioré ; en 1986, Maier montra qu'une constante c < 0,25 pouvait être atteinte.

En 2003, Goldston et Yildirim ont démontré que, pour tout c > 0, il existe une infinité de nombres premiers p tels que p' - p < c ln(p).

En 1966, J.R. Chen a démontré l'existence d'une infinité de nombres premiers p tels que p + 2 soit le produit d'au plus deux facteurs premiers (un tel nombre, produit d'au plus deux facteurs premiers, est dit 2-presque-premier).

Son approche fut celle de la théorie du crible, qu'il utilisa pour traiter de façon similaire la conjecture des nombres premiers jumeaux et la conjecture de Goldbach.

[modifier] La conjecture de Hardy-Littlewood

Il existe aussi une généralisation de la conjecture des nombres premiers jumeaux, connue sous le nom de conjecture de Hardy - Littlewood, en rapport avec la distribution des premiers jumeaux, par analogie avec le théorème des nombres premiers. Soit π2(x) le nombre de nombres premiers p ≤ x tels que p + 2 soit aussi premier.

On note C2 le nombre obtenu de la façon suivante :

C_2 = \prod_{p\ge 3} \frac{p(p-2)}{(p-1)^2} \approx 0,6601618158468695739278121100145 ...

(ici le produit s'étend à l'ensemble des nombres premiers p ≥ 3). C2 est appelé constante des nombres premiers jumeaux[6]

Alors la conjecture de Hardy-Littlewood s'énonce de la façon suivante :

\pi_2(x) \sim 2 C_2 \int_2^x {dt \over (\ln t)^2}

(ce qui signifie que le quotient des deux expressions tend vers 1 quand x tend vers l'infini).

Comme le second membre à une limite infinie quand x tend vers l'infini, cette conjecture démontrerait que le nombre de nombres premiers jumeaux est bien infini.

Cette conjecture peut être justifiée (mais pas démontrée) en supposant que 1/ln(t) est la fonction de densité de la distribution des nombres premiers, une hypothèse suggérée par le théorème des nombres premiers. Cette conjecture est un cas particulier d'une conjecture plus générale appelée conjecture des n-uplets premiers de Hardy-Littlewood[7] utilisée dans les recherches sur la conjecture de Goldbach.

[modifier] Notes et références

  1. ↑ 2007
  2. ↑ (en) P.A. Clement, Congruences for sets of primes, American Mathematical Monthly n° 56 (1949), pp. 23-25
  3. ↑ Viggo Brun, La série 1/5 + 1/7 + 1/11 + 1/13 + 1/17 + 1/19 + 1/29 + 1/31 + 1/41 + 1/43 + 1/59 + 1/61 + ... où les dénominateurs sont "nombres premiers jumeaux" est convergente ou finie, Bulletin des Sciences Mathématiques n°43 (1919), pp. 100-104 et 124-128
  4. ↑ (en) [pdf] Twin Prime Search, communiqué officiel de la découverte du 15 janvier 2007 [1]
  5. ↑ Académie des sciences. Comptes rendus hebdomadaires des séances 1849 (T.29), page 400
  6. ↑ Cette constante est parfois appelée constante de Shah-Wilson et son double nommée constante des nombres premiers jumeaux d'après Weisstein, Eric W. "Twin Primes Constant." From MathWorld--A Wolfram Web Resource
  7. ↑ d'après Weisstein, Eric W. "Twin Prime Conjecture." From MathWorld--A Wolfram Web Resource.

[modifier] Voir aussi

[modifier] Articles connexes

[modifier] Liens externes