Moment magnétique anormal

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Sommaire

1 Rappels sur le moment magnétique de spin
- 1.1 Définition. Facteur de Landé
- 1.2 Magnéton de Bohr
2 Moment magnétique anormal de l'électron
3 Annexes

[modifier] Rappels sur le moment magnétique de spin

[modifier] Définition. Facteur de Landé

Au moment cinétique orbital d'une particule de charge $q$ et de masse $m$ est associé un moment magnétique orbital :

$\vec{\mu}_L \ = \ \frac{q}{2 m} \ \vec{L}$

Le facteur $q / 2 m$ est appelé rapport gyromagnétique. De même, on associe à une particule de charge $q$ , de masse $m$ , et de spin donné un moment magnétique de spin :

$\vec{\mu}_S \ = \ g \ \frac{q}{2 m} \ \vec{S}$

où $g$ est un nombre pur, appelé facteur de Landé (1921). Ce nombre varie selon la nature de la particule : on a approximativement $g = 2$ pour l'électron, $g = 2.793$ pour le proton, et $g=- \, 1.913$ pour le neutron ^[1].

[modifier] Magnéton de Bohr

Pour l'électron, on a les valeurs suivante : $s= \hbar /2$ et $g = 2$ ; on introduit alors le « quantum magnétique » suivant, appelé magneton de Bohr :

$\mu_{B} = \frac{e \hbar}{2 m_e}$

[modifier] Moment magnétique anormal de l'électron

L'équation de Dirac prédit pour l'électron un facteur de Landé exactement égal à : $g = 2$ . Or, la valeur expérimentale admise en 2005 vaut :

$g \ \simeq \ 2.002 \ 319 \ 304 \ 373 \ 7$

Il existe donc un écart, décelé pour la première fois en 1947 dans la structure hyperfine de l'hydrogène et du deutérium^[2].

[modifier] Anomalie

On est ainsi amené à introduire une anomalie $a$ , définie par :

$g \ = \ 2 \ \left( \, 1 \, + \, a \, \right) \quad \Longleftrightarrow \quad a \ = \ \frac{(g \, - \, 2)}{2}$

La théorie quantique des champs du modèle standard permet de calculer cette anomalie. La contribution dominante vient de l'électrodynamique quantique pertubative, et se présente sous la forme d'un développement en série de puissances de la constante de structure fine $α$ , également appelée constante de couplage. Plus précisément, on est amené a écrire le développement suivant :

$a \ = \ A_1 \ \alpha_1 \ + \ A_2 \ \alpha_1^2 \ + \ A_3 \ \alpha_1^3 \ + \ A_4 \ \alpha_1^4 \ + \ o(\alpha_1^4)$

en puissances de $\alpha_1 = \alpha / \pi \simeq \ 0.002 \ 322 \ 819 \ 465 \ 36$ .

Note:

Bien qu'anormal, le moment magnétique de l'électron est, à quelques millièmes près, égal au moment magnétique orbital, le magnéton de Bohr.

[modifier] Première correction de Schwinger

Correction à une boucle au vertex électron-photon

Le premier terme du développement, calculé par Schwinger en 1948, vaut simplement : $A 1 = 1 / 2$ . Ce fut le premier grand succès de la toute nouvelle électrodynamique quantique. Ce calcul, qui repose sur le diagramme de Feynman ci-contre, est aujourd'hui un exercice standard pour tout étudiant de troisième cycle débutant en théorie quantique des champs.

Malheureusement, les calculs des termes suivants sont beaucoup plus compliqués, car le nombre de diagrammes croit exponentiellement vite avec l'ordre du développement.

[modifier] Correction d'ordre deux

Ce calcul fait intervenir 7 diagrammes de Feynman. Un premier résultat - erroné - a été publié en 1950, puis revu et corrigé en 1957-1958. On obtient^[2] :

$A_2 \ = \ \frac{197}{144} \ + \ \left( \frac{1}{2} - 3 \ \ln 2 \right) \ \zeta (2) \ + \ \frac{3}{4} \ \zeta (3) \ \simeq \ - \ 0.328 \ 478 \ 965 ...$

où $ζ(s)$ est la fonction zeta de Riemann, définie par :

$\zeta (s) \ = \ \sum_{n=1}^{+ \infty} \ \frac{1}{n^s} \qquad \Re e (s) \ > \ 1$

et vérifiant en particulier : $ζ(2) = π 2 / 6$ .

[modifier] Correction d'ordre trois

Ce calcul fait intervenir 72 diagrammes de Feynman. Le calcul, commencé en 1969, n'a été terminé et publié qu'en 1996. On obtient une expression analytique compliquée, qu'on trouvera par exemple dans^[2] p 101. Numériquement, on obtient :

$A_3 \ \simeq \ + \ 1.181 \ 241 \ 456 ...$

[modifier] Correction d'ordre quatre

Ce calcul, qui fait intervenir 891 diagrammes de Feynman, est impossible à faire entièrement à la main en un temps raisonnable ! Il a requis l'usage intensif de l'ordinateur. Le meilleur résultat numérique, publié en 1999, est^[2] :

$A_4 \ \simeq \ - \ 1.509 \ 8 \ (38 \ 4)$

[modifier] Comparaison théorie - expérience

L'électron étant le lepton le plus léger, les contributions à son moment magnétique des autres leptons, des bosons vecteurs de l'interaction faible, et des quarks et gluons, sont petites, mais non négligeables à la précision actuelle. Leurs inclusions donne la prédiction théorique du modèle standard^[2] :

$a_{th} \ \simeq \ 0.001 \ 159 \ 652 \ 153 \ 5 \ (24 \ 0)$

L'accord avec le résultats expérimental est à ce jour excellent^[2] :

$a_{exp} \ \simeq \ 0.001 \ 159 \ 652 \ 188 \ 4 \ ( 4 \ 3)$

[modifier] Annexes

[modifier] Articles connexes

[modifier] Bibliographie

Sin-Itiro Tomonaga ; The story of spin, The university of Chicago press (1997), ISBN 0-226-80794-0. Traduction anglaise d'un ouvrage paru en japonais en 1974.
Marc Knecht ; The anomalous magnetic moments of the electron and the muon, séminaire Poincaré (Paris, 12 Octobre 2002), publié dans : Bertrand Duplantier et Vincent Rivasseau (Eds.) ; Poincaré Seminar 2002, Progress in Mathematical Physics 30, Birkhäuser (2003), ISBN 3-7643-0579-7. Texte complet disponible au format PostScript.

[modifier] Notes et références

↑ Bien que le neutron ait une charge $q = 0$ , il possède un spin 1/2. On lui attribue ici un facteur de Landé corrspondant au moment magnétique de spin calculé pour la valeur $q = e$ , afin de le comparer à ceux de l'électron et du proton.
↑ ^a ^b ^c ^d ^e ^f Marc Knecht ; The anomalous magnetic moments of the electron and the muon, séminaire Poincaré (Paris, 12 Octobre 2002), publié dans : Bertrand Duplantier et Vincent Rivasseau (Eds.) ; Poincaré Seminar 2002, Progress in Mathematical Physics 30, Birkhäuser (2003), ISBN 3-7643-0579-7. Texte complet disponible au format PostScript.