Méthodes de Runge-Kutta

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Les méthodes de Runge-Kutta sont des méthodes d'analyse numérique d'approximation de solutions d'équations différentielles. Elles ont été nommées ainsi en l'honneur des mathématiciens Carl Runge et Martin Wilhelm Kutta.

Ces méthodes reposent sur le principe de l'itération, c'est-à-dire qu'une première estimation de la solution est utilisée pour calculer une seconde estimation, plus précise, et ainsi de suite.

[modifier] La méthode de Runge-Kutta d'ordre 1 (RK1)

Cette méthode est équivalente à la méthode d'Euler, une méthode basique de résolution d'équations différentielles du 1er degré.

Considérons le problème suivant :

$y' = f(t, y), \quad y(t_0) = y_0$

La méthode RK1 est donnée par l'équation

$y_{n+1} = y_n + h f \left( t, y_n \right)$

où $h$ est le pas de l'itération.

[modifier] La méthode de Runge-Kutta classique d'ordre quatre (RK4)

C'est un cas particulier d'usage très fréquent, dénoté RK4..

Considérons le problème suivant :

$y' = f(t, y), \quad y(t_0) = y_0$

La méthode RK4 est donnée par l'équation :

$y_{n+1} = y_n + {h \over 6} (k_1 + 2k_2 + 2k_3 + k_4)$

où

$k_1 = f \left( t_n, y_n \right)$

$k_2 = f \left( t_n + {h \over 2}, y_n + {h\over 2} k_1 \right)$

$k_3 = f \left( t_n + {h \over 2}, y_n + {h\over 2} k_2 \right)$

$k_4 = f \left( t_n + h, y_n + h k_3\right)$

L'idée est que la valeur suivante (y_n+1) est approchée par la somme de la valeur actuelle (y_n) et du produit de la taille de l'intervalle (h) par la pente estimée. La pente est obtenue par une moyenne pondérée de pentes :

k₁ est la pente au début de l'intervalle ;
k₂ est la pente au milieu de l'intervalle, en utilisant la pente k₁ pour calculer la valeur de y au point t_n + h/2 par le biais de la méthode d'Euler ;
k₃ est de nouveau la pente au milieu de l'intervalle, mais obtenue cette fois en utilisant la pente k₂ pour calculer y;
k₄ est la pente à la fin de l'intervalle, avec la valeur de y calculée en utilisant k₃.

Dans la moyenne des quatre pentes, un poids plus grand est donné aux pentes au point milieu.

$\mbox{pente} = \frac{k_1 + 2k_2 + 2k_3 + k_4}{6}.$

La méthode RK4 est une méthode d'ordre 4, ce qui signifie que l'erreur commise à chaque étape est de l'ordre de h⁵, alors que l'erreur totale accumulée est de l'ordre de h⁴.

Ces formules sont aussi valables pour des fonctions à valeurs vectorielles.