Méthode d'Euler

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En mathématiques, la méthode d'Euler, nommée ainsi en l'honneur du mathématicien Leonhard Euler, est une procédure numérique pour résoudre par approximation des équations différentielles du premier ordre avec une condition initiale. C'est la plus basique des méthodes de résolution numérique des équations différentielles.

Sommaire

1 Équation différentielle
2 Intégration d'une fonction
- 2.1 Méthode d'Euler pour une fonction
- 2.2 Exemple :
  - 2.2.1 Lien externe

[modifier] Équation différentielle

La méthode d'Euler est une méthode numérique élémentaire de résolution d'équations différentielles du premier ordre, de la forme

$\forall x\in I, u'(x)=f(x,u(x))$

où $I\$ est un intervalle de $\mathbb R$ et $f\$ une fonction réelle sur $I\times\mathbb R$ .

Étant donnée une condition initiale $(a,u(a))\in I\times\mathbb R$ , la méthode fournit pour tout point $b\in I$ une suite $(u_n(b))_{n\in\mathbb N}$ d'approximations de la valeur $u(b)\$ que prend, lorsqu'elle existe, la solution de l'équation qui correspond à cette condition initiale. Divers jeux de conditions sur $f\$ peuvent assurer la convergence de cette suite.

$u_n(b)\$ s'obtient en calculant $n\$ valeurs intermédiaires $(y_i)_{i\in[0,n]}$ de la solution approchée aux points $(x_i)_{i\in[0,n]}$ régulièrement répartis entre $a\$ et $b\$ , donnés par

$x_i = a + i\frac {b-a}{n}.$

On étend cette notation à $x_0 = a,\ y_0 = u(a)$ et $x_{n} = b,\ y_{n} = u_n(b)$ . Ces valeurs intermédiaires sont alors données par la relation de récurrence

$y_{i+1} = y_i + (x_{i+1}-x_i)f(x_i, y_i),\ i\in[0,n-1].$

[modifier] Intégration d'une fonction

L'intégration d'une fonction continue sur un segment peut être vue comme un cas particulier où la fonction $f\$ est continue et ne dépend que de $x\$ . On démontre alors aisément, en utilisant la continuité uniforme de $f\$ sur $[a,b]\$ (théorème de Heine), que la suite $(u_n(b))_{n\in\mathbb N}$ est de Cauchy, et donc converge par complétude de $\mathbb R$ .

[modifier] Méthode d'Euler pour une fonction

Pour calculer des valeurs approchées d'une primitive G de f sur I = [x₀, x_n], on divise I en n intervalles et on choisit $h =\frac{x_n - x_0}{n}$

Pour la valeur initiale y₀ on a F(x₀) = G(x₀) = y₀ ce qui permet de placer le premier point A₀ (x₀ ; y₀).

Pour les n valeurs x₁ = x₀ + h, x₂ = x₁ + h, ..., x_n = x_n-1 + h, on calcule de proche en proche, en relation avec la propriété de la dérivée citée ci-dessus, les n valeurs approchées F(x₁), F(x₂), ..., F(x_n) de G.

En effet G est dérivable en x₀ et G'(x₀) = f(x₀) :

F(x₀ + h) = F(x₀) + h f(x₀) donc F(x₁) = y₀ + hG'(x₀) $\approx$ G(x₁) ; soit y₁ = y₀ + h f(x₀) st F(x₁) = y₁ $\approx$ G(x₁).

On recommence avec x₁ :

F(x₁ + h) = F(x₁) + h f(x₁) donc F(x₂) = y₁ + hG'(x₁) $\approx$ G(x₁) + hG'(x₁) $\approx$ G(x₂) ; soit y₂ = y₁ + h f(x₁) et F(x₂) = y₂ $\approx$ G(x₂).