Loi de Lévy

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Distribution de Lévy
Densité de probabilité / Fonction de masse
Densité de probabité pour différentes valeurs de c.
Fonction de répartition
Fonction de répartition pour différentes valeurs de c.
Paramètres c > 0\,
Support t \in ]0, +\infty[\,
Densité de probabilité (fonction de masse) \sqrt{\frac{c}{2\pi}} \cdot \frac{\mathrm{e}^{-c/2t}}{t^{3/2}}\!
Fonction de répartition \mathrm{erfc}~\sqrt{\frac{c}{2t}}\!
Espérance +\infty\,
Médiane (centre) c/2(\textrm{erf}^{-1}(1/2))^2\,
Mode \frac{c}{3}\,
Variance +\infty\,
Asymétrie (skewness) +\infty\,
Kurtosis (non-normalisé) +\infty\,
Entropie \frac{1+3\gamma+\ln(16\pi c^2)}{2}\,
Fonction génératrice des moments non définie
Fonction caractéristique e^{-\sqrt{-2ict}}\,

La distribution de Lévy, nommée d'après le mathématicien Paul Lévy, est une loi de probabilité utilisée en mathématiques et en physique. En spectroscopie, elle porte le nom de profil de Van der Waals et décrit le profil de certaines raies spectrales.

Avec la loi de Cauchy et la loi normale, c'est l'une des trois à être stable par convolution et à posséder une densité de probabilité exprimable analytiquement :

\varphi(t, c)= \sqrt{\frac{c}{2\pi}} \cdot \frac{\mathrm{e}^{-c/2t}}{t^{3/2}},

pour t > 0, avec c comme paramètre d'échelle. Sa fonction de répartition est

\Phi(t, c) = \mathrm{erfc}~\sqrt{\frac{c}{2t}},

où erfc désigne la fonction d'erreur complémentaire.

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