Loi de Cauchy

Un article de Wikipédia, l'encyclopédie libre.

Pour les articles homonymes, voir Cauchy.
Densité de la loi de Cauchy, pour différentes valeurs de x0 et a.
Densité de la loi de Cauchy, pour différentes valeurs de x0 et a.

La loi de Cauchy, appelée aussi loi de Lorentz, est une loi de probabilité classique qui doit son nom au mathématicien Augustin Louis Cauchy.

Une variable aléatoire X suit une loi de Cauchy si elle admet une densité fX par rapport à la mesure de Lebesgue, dépendant des deux paramètres x0 et a (a > 0) et définie par :

f_X(x)=\frac{a}{\pi}\frac{1}{(x-x_0)^2+a^2}\,

Cette distribution est symétrique par rapport à x0, le paramètre a donnant une information sur l'étalement de la fonction.

Le quotient de deux variables aléatoires réelles indépendantes suivant des lois normales suit une loi de Cauchy.

[modifier] Espérance et écart type

La loi de Cauchy n'admet ni espérance ni écart type. En effet,

x \mapsto \frac{a}{\pi}\frac{x}{(x-x_0)^2+a^2}\, n'est pas intégrable au sens de Lebesgue

car \left|\frac{x}{(x-x_0)^2+a^2}\right| \sim \left|\frac{1}{x}\right| (à l'infini) d'où la divergence de l'intégrale : l'espérance n'existe pas.

A fortiori, la loi de Cauchy n'admet pas d'écart type ( \int_{-\infty}^{+\infty} \frac{a}{\pi}\frac{x^2}{(x-x_0)^2+a^2}\, dx diverge).


Cependant, x0, qui en est la médiane, est souvent considéré comme la "moyenne" de la loi de Cauchy, car :

\lim_{R \mapsto \infty} \int_{-R}^R \frac{a}{\pi}\frac{x}{(x-x_0)^2+a^2}\, dx = x_0

[modifier] Loi de Cauchy et théorèmes limite

Moyenne empirique d'une série de valeurs suivant la loi de Cauchy.
Moyenne empirique d'une série de valeurs suivant la loi de Cauchy.

La loi de Cauchy est l'une de celles auxquelles la Loi des grands nombres ne s'applique pas. Elle nous montre ainsi que la condition de l'espérance définie selon l'intégrale de Lebesgue est indispensable à l'application de la loi. On remarque que les valeurs moyennes s'approchent de xo mais il arrive toujours un moment où une valeur trop éloignée "empêche" la moyenne de converger. La probabilité d'obtenir des valeurs éloignées de x0 est en fait trop élevée pour permettre à la moyenne empirique de converger.