Lemme d'Urysohn

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En mathématiques, le lemme d'Urysohn est un lemme qui caractérise les espaces normaux.

Sommaire

[modifier] Enoncé

Un espace topologique X est normal si et seulement si pour toute parties A et B fermés disjoints de X, il existe une application f:X\rightarrow [0,1] continue telle que f | A = 1 et f | B = 0.

[modifier] Preuve

Seule la démonstration du sens directe de ce lemme qui est intéressante. En effet la réciproque est immédiate (considérer f − 1([0,1 / 2[) et f − 1(]1 / 2,1])). De plus, dans le cas d'un espace métrique (E,d), la preuve de l'implication directe est elle aussi immédiate en considérant

f:x\longmapsto \frac{d(x,B)}{d(x,A)+d(x,B)}.

[modifier] Voir aussi

[modifier] Références

  • A combinatorial introduction to topology, Mickael Henle