Lacet (mathématiques)

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En mathématiques, un lacet est la modélisation d'une « boucle ». C'est une courbe continue et fermée, c'est-à-dire que ses extrémités sont confondues. La notion de lacet est utile en analyse complexe et en topologie.

[modifier] Définitions

Si X est un espace topologique, on appelle lacet sur X toute application continue \gamma \, : \, [0,1] \rightarrow X telle que γ(0) = γ(1).

Autres définitions :

  • Un lacet sur X est un chemin sur X dont l'extrémité est confondue avec l'origine.
  • Un lacet sur X est une application continue de S1 vers X (où S1 dénote le cercle unité \{ z \in \mathbb{C} \mid |z|=1 \}).

En analyse complexe on s'intéresse aux lacets qui sont aussi des courbes rectifiables.

On peut aussi définir des lacets polygonaux, ou de classe Ck (voir Chemins).

[modifier] Indice d'un lacet dans le plan complexe

Icône de détail Article détaillé : Indice (analyse complexe).

Dans le cas X=\mathbb{C}, on peut définir l'indice I(γ,z0) d'un lacet γ par rapport à un point z_0\in\mathbb{C} \smallsetminus \gamma([0, 1]) : il correspond au nombre (entier algébrique) de tours effectués par le lacet autour de ce point.

On peut l'obtenir en calculant :

\operatorname{I}(\gamma, z_0) = \frac{1}{2\pi i} \int_{\gamma} \frac{\mathrm dz}{z-z_0}

[modifier] Voir aussi