Indice (analyse complexe)

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Un point z0 et une courbe C
Un point z0 et une courbe C

Sommaire

[modifier] Définition

[modifier] Définition selon l'analyse complexe

On définit l'indice d'un point z relativement à un lacet γ, pour z dans le complémentaire de l'image de γ :

\operatorname{Ind}_{\gamma} (z) =\frac{1}{2 \mathrm{i} \pi} \int_{\gamma} \frac{\mathrm d \zeta}{\zeta - z}

[modifier] Définition selon la topologie

On peut voir l'indice de prime abord l'indice comme le degré de l'application de Gauss.

[modifier] Propriétés

En notant \Omega = \mathbb{C} \smallsetminus \gamma^{*} , on a que z \rightarrow \operatorname{Ind}_{\gamma} (z) est une fonction à valeurs entières sur Ω, constante sur les composantes connexes de Ω, et nulle sur la composante non bornée de Ω. Ces valeurs entières correspondent au nombre de tours effectués par le lacet autour du point z.