Discuter:Géométrie hyperbolique

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Il existe QUATRE modèles CLASSIQUES de la géométrie hyperbolique :

L'hyperboloïde.
Le modèle du disque de Poincaré.
Le modèle du demi-espace de Poincaré.
Le modèle du disque droit.

Je les ai placés par ordre d'intérêt.

Le modèle le plus intéressant, est le deuxième pour trois raisons :

- La métrique est conforme, et les angles sont les angles euclidiens (comme pour le troisième)
- Les dessins sont plus facilement représentables. Ils le sont dans une région bornée de l'espace.
- Le modèle reflète la géométrie d'une variété de Hadamard. La sphère unité s'y identifie à la sphère à l'infini. Dans le modèle du demi-plan, la sphère à l'infini serait le compactifié de R^{n-1^{. L'identification serait seulement topologique.}}

^{Je pense que les quatre modèles sont à développés, en insistant sur l'avantage que chacun offre. Cependant, on doit prévoir un article pour chaque modèle. Les avantages sont les suivants :}

^{L'hyperboloïde : Le groupe d'isométries est visuel. Le nom de la géométrie prend un sens fort.}
^{Disque de Poincaré : Déjà évoqué}
^{Demi-espace de Poincaré : Modèle conforme adapté à l'arithmétique.}
^{Disque droit : les droites (riemanniennes) sont des droite (affines). Pour ceux qui ne veulent pas se fatiguer à dessiner.}

^{Le discours qui suit déraille sur un tout autre sujet.}

^{ma remarque à 1 euro: en théorie des cordes on utilise essentiellement la troisième formulation lorsqu'on considère l'espace de modules d'un 2-tore (nécéssaire pour calculer la fonction de partition à 1 boucle de la théorie conforme sur la feuille d'univers de la corde fermée) car il est facile d'y représenter un domaine fondamental pour l'action du groupe arithmétique . LeYaYa 3 août 2006 à 20:34 (CEST)}

^{Ma réponse à un euro : tu rejoins ma remarque ! La classification conforme des tores plats de dimension 2 se résume en effet à la classification des réseaux de R² à similitude près, qui elle-même est liée à l'action de SL₂R. Le modèle du demi-espace est utile en arithmétique. Le domaine fondamental dont tu parles est un domaine fondamental d'un pavage. Le quotient est ce qu'on appelle l'espace des modules, qui est la classification des structures conformes du tore ; ce n'est pas vraiment une variété, les singularités (il y en a deux) sont des cas extrèmes (par exemple, le tore plat équilatéral réalise le cas d'égalité entre systole et aire).}

Là, on risque d'avoir effrayé le lecteur ... Au fait, ce dont tu évoques, c'est la théorie des cordes ou la théorie des membranes ?

Utilisateur:Ektoplastor, le même jour à ... ah ben non, le 4 Août à 00:11 CEST

concernant le pavage, si je ne dis pas de conneries, le demi-plan de Poincaré tout entier est l'espace de Teichmûller des structures complexes du 2-tore (c'est-à-dire l'ensemble des 2-tores quotienté par les difféomorhismes locaux, ie ceux qui sont reliés de façon continue à l'identité) et il faut faire le quotient par les difféomorphismes globaux (qui sont les difféomorphismes non reliés à l'identite et qui engendrent précisément par composition le groupe $SL(2,\mathbb{Z})\,$ dans ce cas) pour obtenir l'ensemble des structures complexes véritablement inéquivalentes et c'est cela qu'on appelle l'espace des modules. Pour ce qui est des singularités de cet espace est-ce que tu pourrais préciser ce que tu entends par *systole* ? moi je les vois en considérant les points fixes sous l'action de $SL(2,\mathbb{Z})\,$ à savoir $\tau=i\,$ qui est un *tore carré* et $\tau=+i\infty\,$ qui est la limite dégénérée ou on obtient un cylindre, me trompe-je ? Enfin je précise que je parle bien de la théorie des cordes, car le tore en question est la version euclidienne de la surface d'univers de la corde. C'est un objet avec 1+1 dimension en signature lorentzienne mais on effectue une rotation de Wick qui change la signature de la direction temps pour obtenir une surface de signature euclidienne lorsqu'on calcule la fonction de partition à 1 boucle. Bien cordialement, LeYaYa 4 août 2006 à 00:58 (CEST)

En général, je préfère parler de structures presque comples ; c'est un miracle si en dimesnion 2 les structures coïncident ! Mais il faut différentier en dimensions supérieures : structures conformes, structure complexe et structures presques complexes.

L'espace de Teichmüller d'une variété (de préférence compacte) pour moi est l'espace des métriques riemanniennes, quotienté par les difféomorphismes conformes près. Donc, pour le tore, c'est le quotient du demi-plan de Poincaré par l'action de SL₂Z. (Attention, il y a deux difficultés :
- Démontrer que toute matrique riemannienne est conforme à une métrique de coubure nulle !
- Déterminer l'espace des réseaux de R2 à similitude près.
L'action n'est pas sans points fixes, et les singularités sont les points de l'espace de Teichmuller, au voisinage desquels le quotient n'est pas une variété différentielle. Ce quotient a deux singularités : le point i (ou sa classe), qui correspond au tore carré (R₂/Z₂), et exp( $i π / 3$ ), le tore triangulaire. Le point à l'infini dont tu parles se trouve dans la compactification de l'espace de Teichmuller.
La systole d'une variété riemannienne compacte est la plus petite longueur d'une géodésique fermée non triviale. Elle est supérieure au rayon d'injectivité. Pour les tores, on dispose d'une inégalité avec l'aire :

$sys(M,g)^2\leq C.aire(M,g)$

La meilleure constante et le cas d'égalité sont connues. Essentiellement, le cas d'agalité est réalisé seulement pour le tore triangulaire !

Le terme espace des modules est employé à toutes les sauces. Il peut désigner l'espace des sphères pseudoholomorphes pour une structure presque complexe, ou d'autres acceptations selon les gens. Je ne sais pas trop ...

Ektoplastor

Pour HB : Désolé, tu ne vas pas apprécier qu'on s'envole vers les hautes sphères. Toujours Ektoplastor

Salut,

Ok c'est vrai j'avais oublié de considérer les transformations conformes.

Cela dit l'espace de Teichmüller est simplement connexe car on peut le définir comme le groupe de recouvrement universel de ce qu'on appelle l'espace des modules (ce dernier étant le quotient des métrique riemanninennes modulo difféomorphismes, locaux, globaux + transformations conformes). C'est pour cela que je dis que l'espace des modules tient compte du quotient par le groupe SL(2,z) (et possède donc des singularités de type orbifold, merci pour le cas du tore triangulaire, j'avais zappé cela aussi!). Par contre ce n'est pas le cas pour l'espace de Teichmuller.
Par ailleurs démontrer que toute métrique est conformément plate en deux dimensions ce n'est pas trop dur car le tenseur de Riemann n'a qu'un seul degré de liberté dans ce cas, alors il suffit d'annuler le scalaire de Ricci pour que la métrique soit plate, ce qui se fait immédiatement par le biais d'une transformation conforme. Par contre lorsque tu fait référence aux *réseaux de R2 à similitude près* est-ce que tu fais régérence à la façon d'obtenir ce fameux pavage du demi-plan sous l'action de sl(2,Z) ? sinon je ne vois pas trop à quel moment cette seconde difficulté que tu mentionnes intervient dans la determination de l'espace de modules (je dis bien espace de module et non de Teichmuller pour la raison que j'ai évoquée plus haut)
merci pour la définition de la systole, ca mériterait une petite page d'homonymie!ce n'est pas encore clair pour moi que seul le tore triangulaire réalise l'égalité mais je vais y réfléchir.

Je reprends mon argumentation depuis le début, en détaillant les étapes. Une structure conforme sur une variété différentielle M est la donnée d'une section du projectif du fibré des formes bilinéaires symétriques définies positives. Pour le tore M, cette section est (c'est valable en toute dimension) réalisée par une métrique riemannienne globale g. Cette métrique g est isométrique à

f 2 g 0

où g₀ est une métrique plate sur le tore (le tore carré). C'est une version du théorème d'uniformisation ; je disais que le résultat n'est pas simple car il est particulier à la petite dimension. Ensuite, le revêtement riemannien universel de (M,g₀) est une variété de Hadamard de courbure nulle de dimension 2, donc isométrique à l'espace euclidien R². (M,g₀) est le quotient de R² par un réseau, disons L. Si (e,f) en est une base, alors :

$Aire(f^2g_0)=\int_0^a\int_0^b f^2\sin \alpha ds dt$

où a et b sont les normes de e et de f, et \alpha est l'angle. L'inégalité de Schwarz donne :

$Aire(f^2g_0)\geq \int_0^a \frac{\sin\alpha}{b} \left[\int_0^b fdt\right]^2ds\geq \frac{Aire(g_0)}{b^2} sys(f^2g_0)$

On peut se débrouiller pour que b soit la systole de g₀ ! On s'est donc ramener à chercher à minimiser le rapport $\frac{Aire(g_0)}{sys^2(g_0)}$ . Au passage, le rapport est bien cohérent (analyse de la dimension : mètre carré sur mètre fois mètre). La classification des tores plats se ramène à la classification euclidienne des réseaux de R².

On peut supposer que la systole est 1 ou de manière équivalente que le plus vecteur non nul du réseau est de norme 1. Notons le e (pas nécessairement unique), quitte à lui appliquer une rotation, c'est (1,0). Le deuxième vecteur est de norme supérieure à 1 et peut être choisi dans le domaine fondamental de l'action de SL₂Z sur le demi-plan supérieur ( $\{z\in C, |z|\geq 1, |Re z|\leq 1/2\}$ ). L'aire est simplement

I m f

. La meilleure constante possible est $\sqrt{3}/2$ .

Pour le cas d'égalité : il y a égalité dans l'inégalité de Cauchy-Schwarz, donc f est constante ; g est donc conforme à une métrique plate g₀. Cette métrique est déterminée à une constante près par f ci-dessus, qui appartient au domaine fondamental et de partie imaginaire au plus $\sqrt{3}/2$ . Donc,

f = e x p (i π / 3)

D'où le résultat que j'ai annoncé !

En théorie des cordes, il y a essentiellement deux définitions de l'espace des modules dont une purement géométrique qui est celle que j'ai indiquée. La deuxième contient la première mais tient compte du fait qu'au point de vue de la physique quantique de la théorie, ce n'est pas uniquement la géométrie qui définit les propriétés du modèles car il faut aussi inclure bien souvent la donnée par exemple d'une 2-forme sur l'espace-cible qui est ce qu'on appelle le champ B. Le modèle physique est donc souvent déterminé par un couple (espace, 2-forme) pour lequel l'espace des modules est naturellement étendu. Il prend une définition plus intrinsèque du point de vue de la théorie conforme associée à la théorie des cordes car cet espace de module correspond naturellement à l'ensemble des déformations marginales de la theorie c'est à dire des déformation du modèle par des opérateurs quantique de dimension conforme (1,1) qui préservent exactement la symétrie conforme de la théorie. Pour plus d'infos tu peux te référer au cours d'Aspinwall que j'ai indiqué en référence de l'article espace de modules qui traite le cas des compactifications de la théorie des supercordes sur l'espace K3. Bien cordialement, LeYaYa 4 août 2006 à 20:30 (CEST)

En mathématiques, la définition espace de module n'est pas fixée. Je pense qu'en physique, il y a une confusion avec le domaine modulaire à savoir le biquotient $SO(2)\ SL(2,R)/SL(2,Z)$ . Quant à la définition de l'espace de Teichmüller, la définition que je donne est la bonne (cf. par exemple Jost1). Pour ce qui est de la 2-forme, est-elle non dégénérée ? est-elle fermée ? Dans ce cas, c'est une forme symplectique (géométrie symplectique, forme symplectique). Cela ne m'étonnerait d'ailleurs pas du tout. Mais alors, il y a un bordel dans la terminologie, car en géométrie symplectique, l'espace des modules est un espace d'applications d'une surface de Riemann (pas forcément fermée, id est compacte sans bord) dans une variété symplectique vérifiant une EDP qui dépend de ce qu'on veut en faire. (Elle est jolie cette définition, non ?) Ektoplastor, 16:30 CEST