Espace de Schwartz

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En mathématiques, l'espace {\mathcal S} de Schwartz est un espace de fonctions utilisé notamment en théorie des distributions, pour la définition générale de la transformation de Fourier d'une distribution tempérée. Il porte le nom du mathématicien français Laurent Schwartz (1915-2002).

[modifier] Définition

Une fonction f fait partie de l'espace \mathcal{S}(\mathbb{R}^n) lorsqu'elle est indéfiniment dérivable, et si f et toutes ses dérivées sont à décroissance rapide, c'est-à-dire que leur produit par une fonction polynôme quelconque est borné.

Pour deux multi-indices α,β on peut noter

\|f\|_{\alpha,\beta}=\|x^\alpha D^\beta f\|_\infty\,.

Alors l'espace de Schwartz peut être décrit comme

\mathcal{S} \left(\mathbb{R}^n\right) = \{ f \in \mathcal{C}^\infty(\mathbb{R}^n) /\ \forall (\alpha, \beta),\ \|f\|_{\alpha,\beta} < +\infty \}.

S'il n'y a pas d'ambiguïté, l'espace peut être simplement représenté par la lettre \mathcal{S}

[modifier] Exemples et propriétés

  • Il contient également d'autres éléments comme les fonctions de la forme produit d'un polynôme et d'une gaussienne :
x\mapsto x^\alpha e^{-a \|x\|^2} \in \mathcal{S} pour un certain multi-indice α et un réel a > 0.
  • L'espace \mathcal{S} est un sous-espace vectoriel des différents espaces Lp pour p\in[1;+\infty].
  • Il est stable par dérivation, par multiplication ou même par multiplication par un polynôme
  • La transformée de Fourier est un isomorphisme linéaire de \mathcal{S} dans \mathcal{S}.
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