Espace Lp

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En théorie de la mesure, pour tout réel p strictement positif, l'espace L^p(X,A,μ) est l'espace vectoriel des fonctions à valeurs réelles (ou complexes selon les choix d'auteur), définies et mesurables sur l'espace mesuré (X,A,μ) et dont la p-ième puissance est μ-intégrable, considérées modulo l'identification des fonctions égales presque partout. La norme Lp est définie comme suit :

.

Suivant le contexte, les lettres A et μ peuvent être sous-entendues.

Pour p≥1, L^p(X,A,μ) muni de cette norme est un espace vectoriel normé complet. Conjointement avec l'espace L^∞, ils forment une classe importante d'exemples d'espaces de Banach en analyse fonctionnelle.

Dans la théorie de Riemann, l'espace L^p(R) se définit par un procédé de complétion.

Si X est l'ensemble N des entiers naturels, muni de la tribu grossière, et que μ est la mesure de comptage, l'espace L^p(X,A,μ) n'est autre que l'espace l^p(N) des suites réelles dont la p-ième puissance est sommable.

[modifier] Propriétés

En général, si , on n'a ni L^p inclus dans L^q, ni L^q inclus dans L^p.

Cependant si la mesure est finie (comme en probabilités par exemple), alors pour p < q, L^q est inclus dans L^p.

D'autre part s'il existe ε > 0 tel que toute partie non vide de X est de mesure plus grande que ε, pour p < q, L^p est inclus dans L^q.

[modifier] Voir aussi

• Espace L¹
• Espace L²
• Espace L^∞
• Espace de suites lp

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