Multi-indice

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En mathématiques, les multi-indices généralisent la notion d'indice entier en permettant d'envisager plusieurs variables entières pour une indexation. L'utilisation des multi-indices a pour but de simplifier les formules qu'on rencontre dans le calcul à plusieurs variables, que ce soit pour le calcul polynomial ou en analyse vectorielle.

Un multi-indice de taille n est un vecteur

\alpha = (\alpha_{1}, \alpha_{2},\ldots,\alpha_{n})

à coefficients αi entiers positifs.

Au multi-indice α est associé sa longueur (parfois appelée module) | α | , définie par :

| \alpha | \ = \ \sum_{k=1}^n \alpha_k \ = \ \alpha_1 \ + \ \dots \ + \ \alpha_n

Sommaire

[modifier] Notations adaptées

On utilise pour un vecteur \mathbf{x} de composantes x_1, \dots, x_n, une notation sous forme d'exponentiation pour représenter le calcul polynomial

\mathbf{x}^\alpha = x_{1}^{\alpha_{1}} x_{2}^{\alpha_{2}} \ldots x_{n}^{\alpha_{n}}

Et on peut introduire l'opérateur différentiel

\partial^{\alpha} := \partial_{1}^{\alpha_{1}} \partial_{2}^{\alpha_{2}} \ldots \partial_{n}^{\alpha_{n}} \qquad \hbox{avec}\qquad \partial_{i}^{j}:=\frac{\part^{j} }{ \part x_{i}^{j}}.

Il faut prendre garde à n'utiliser cette notation que dans le cas de fonctions pour lesquelles l'ordre des dérivations n'importe pas (c'est-à-dire vérifiant par exemple les conditions du théorème de Schwarz).

Plus généralement, on peut définir un opérateur différentiel d'ordre N pour n variables par une formule telle que

P(\partial) = \sum_{|\alpha| \le N}{}{a_{\alpha}(x)\partial^{\alpha}}

Pour écrire les formules classiques, on introduit une multi-factorielle généralisant la factorielle :

\alpha \, ! \ = \ \prod_{k=1}^n ( \, \alpha_k \, ! \, ) \ = \ \alpha_1 \, ! \ \times \ \dots \ \times \ \alpha_n \, !

Et il est possible de généraliser les coefficients binomiaux en coefficients multinomiaux

{\alpha \choose \beta} = \frac{\alpha!}{(\alpha - \beta)! \, \beta!}={\alpha_{1} \choose \beta_{1}}{\alpha_{2} \choose \beta_{2}}\ldots{\alpha_{n} \choose \beta_{n}}

Enfin pour décrire les domaines d'indexation il est utile de donner une relation d'ordre partiel sur les multi-indices

\alpha \le \beta \quad \Longleftrightarrow \quad \forall i \in [\![1;n]\!],\quad \alpha_{i} \le \beta_{i} \quad

[modifier] Application à des formules usuelles

Avec ces notations un certain nombre de formules classiques s'écrivent de façon relativement compacte et admettent des généralisations vectorielles.

[modifier] Calcul polynomial

Généralisation de la formule du binôme de Newton

\left( \mathbf{x}+\mathbf{y} \right)^\alpha = \sum_{\beta\leq \alpha} {\alpha \choose \beta} \, \mathbf{x}^{\alpha-\beta}\mathbf{y}^{\beta}

On peut également donner une écriture compacte de la formule du multinôme

\left( \sum_{i=1}^{n}{x_i}\right)^k = \sum_{|\alpha|=k}^{}{\frac{k!}{\alpha!} \, \mathbf{x}^{\alpha}}

Il est souvent utile de disposer de l'effet d'un opérateur différentiel sur un monôme

\partial^i x^k = \left\{\begin{matrix} \frac{k!}{(k-i)!} x^{k-i} & \hbox{si}\,\, i\le k\\ 0 & \hbox{sinon.} \end{matrix}\right.

[modifier] Calcul infinitésimal

Généralisation de la formule de Leibniz pour deux fonctions numériques suffisamment régulières u, v

\partial^{\alpha}(uv) = \sum_{\nu \le \alpha}^{}{{\alpha \choose \nu}\partial^{\nu}u\,\partial^{\alpha-\nu}v}

Il en découle une formule d'intégration par parties : pour des fonctions suffisamment régulières dont l'une au moins est à support compact il vient

\int {u(\partial^{\alpha}v)}\,dx = (-1)^{|\alpha|}\int{(\partial^{\alpha}u)v\,dx}

Formule qui est utile par exemple en distribution.

Écriture des différentes formules de Taylor: pour une fonction suffisamment régulière

f(\mathbf{x}+\mathbf{h}) = \sum_{|\alpha| \leq n}{\frac{\partial^{\alpha}f(\mathbf{x})}{\alpha !}\mathbf{h}^{\alpha}}+R_n(\mathbf{x},\mathbf{h})

où l'expression du dernier terme (reste) dépend de la formule utilisée. Par exemple pour la formule avec reste intégral il vient

R_n(\mathbf{x},\mathbf{h})= (n+1) \sum_{|\alpha| =n+1}\frac{\mathbf{h}^\alpha}{\alpha !}\int_0^1(1-t)^n\partial^\alpha f(\mathbf{x}+t\mathbf{h})\,dt