Discuter:Électrostatique

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L'article commence à prendre forme, mais il fait très largement double emploi avec d'autres, à commencer par analyse vectorielle et les principes de base de l'électrostatique. Je vais essayer de rendre tout ça plus précis, plus rédigé et plus organisé. Seulement, 1° je n'ai que peu de temps et je ne sais pas jusqu'où j'irai, et 2° je ne voudrais pas fâcher les anonymes qui ont édité cet article récemment. Je mets donc ici une copie de l'article actuel... on verra ce que ça donnera. -- MM

Sommaire

1 1. Notations mathématiques utilisées en électromagnétisme
2 2. Les équations de l'électrostatique
- 2.1 2.1. Définition du champs électrique
- 2.2 2.2. Le potentiel électrostatique
3 Le potentiel électrostatique est continu dans l'espace.
- 3.1 2.3. Conducteurs dans un champs
4 3. Identités mathématiques de l'électrostatique
5 A l'aide !
6 Potentiel électrique

[modifier] 1. Notations mathématiques utilisées en électromagnétisme

les principes de base de l'électrostatique

[modifier] 1.1. Les vecteurs et leurs opérations

Vecteur champ électrique et magnétique: $\overrightarrow{E}\;(x,y,z);\;\overrightarrow{B}\;(x,y,z)$

Potentiel scalaire V(x,y,z) on verra que: $\overrightarrow{E}\;(x,y,z);\;=-\overrightarrow{grad}\;V(x,y,z)$

potentiel vecteur:

Produit vectoriel : $\overrightarrow{v}\wedge\overrightarrow{B}$

Circulation : $\mathcal{C} = \oint_c \overrightarrow{E} \cdot \overrightarrow{dl}$

aussi appelée intégrale curviligne sur un contour fermé.

Si la courbe va de A à B $\mathcal{C} = \int_{A}^{B} \overrightarrow{E} \cdot \overrightarrow{dl}$

Flux sur une surface fermée: $\varphi = \int\oint_S \overrightarrow{E} \cdot \overrightarrow{dS}$

Une surface fermée sépare l'espace en deux parties et on ne peut passer de l'intérieur à l'extérieur qu'en traversant la surface.exemples:un sac fermé ou un ballon. La surface délimite un volume intérieur. Une surface ouverte a un bord qui la limite et on ne peut passer d'un coté à l'autre que par le bord;exemple:un sac ouvert. ( ce n'est pas le cas de la bande de Mobius)

[modifier] 1.2. Ecrire les équations de l'électromagnétisme

Pour écrire des formules Wikip�dia:Formules_TeX

[modifier] 1.3. Les symboles de géométrie analytique

Gradient : $\overrightarrow{grad}\,$ signifie

$\frac{\partial f(x,y,z)}{\partial x}\cdot\vec{i}+\frac{\partial f(x,y,z)}{\partial y}\cdot\vec{j}+\frac{\partial f(x,y,z)}{\partial z}\cdot\vec{k}$

Divergence : $div\,$ signifie

$\frac{\partial f_x(x,y,z)}{\partial x}+\frac{\partial f_y(x,y,z)}{\partial y}+\frac{\partial fz(x,y,z)}{\partial z}$

Rotationnel : $\overrightarrow{rot}\,$ signifie

$(\frac{\partial f_z}{\partial y}-\frac{\partial f_y}{\partial z})\cdot\vec{i}-(\frac{\partial f_z}{\partial x}-\frac{\partial f_x}{\partial z})\cdot\vec{j}+(\frac{\partial f_y}{\partial x}-\frac{\partial f_x}{\partial y})\cdot\vec{k}$

On le calcule grâce à un déterminant : $\begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ \frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z} \\ f_x & f_y & f_z \end{vmatrix}$

Laplacien : $\Delta=\nabla^2 =\frac{\partial^2}{\partial x^2}+\frac{\partial^2}{\partial y^2}+\frac{\partial^2}{\partial z^2}$

[modifier] 2. Les équations de l'électrostatique

[modifier] 2.1. Définition du champs électrique

Champ créé par une charge ponctuelle :

$\vec{E} = \frac{q \vec{r}}{4 \pi \varepsilon_0 \left|\vec{r}\right|^3}$

Force électrique :

$\vec{F} = \frac{q_1 q_2 \vec{r}}{4 \pi \varepsilon_0 \left|\vec{r}\right|^3}$

Champ créé par une distribution de charges - Théorème de GAUSS :

$\oint_S \vec{E} \cdot d\vec{S} = \frac{Q_\mbox{S}}{\varepsilon_0}$

Applications du théorème de GAUSS :

Champ créé par un fil rectiligne infini :

$\overrightarrow{E(M)}=E(\rho)\,\overrightarrow{u_\rho}=\frac{\lambda}{2\pi\epsilon_0}\frac{1}{\rho}\,\overrightarrow{u_\rho}$

Champ créé par un plan infini chargé en surface :

$\overrightarrow{E(M)}=\frac{\sigma}{2\varepsilon_0}\cdot\vec{n}\ \ \forall z$

Champ créé par une sphère creuse chargée en surface :

$\overrightarrow{E(M)}=E(r)\,\overrightarrow{u_r}$

- intérieur (r<R) : $E (r) = 0$
- extérieur (r>R) : $E(r)=\frac{\sigma R^2}{\varepsilon_0}\frac{1}{r^2}$

Champ créé par une sphère pleine chargée :

$\overrightarrow{E(M)}=E(r)\,\overrightarrow{u_r}$

- intérieur (r<R) : $E(r)=\frac{\rho}{3\varepsilon_0}r$
- extérieur (r>R) : $E(r)=\frac{\rho R^3}{3\varepsilon_0}\frac{1}{r^2}$

Chose formidable, nous retrouvons à l'extérieur de la sphère un champ égal à celui d'une charge Q ponctuelle !

$E(r)=\frac{4/3\pi R^3 \rho}{4\pi\varepsilon_0 r^2}=\frac{Q}{4\pi\varepsilon_0 r^2}$

[modifier] 2.2. Le potentiel électrostatique

Potentiel créé par une charge ponctuelle :

$V(r)=\frac{q}{E\pi \varepsilon_0 r}$

Circulation du champ électrique :

$\Delta V=V_\infty -V_1 =-\int_1^\infty \vec{E}\cdot\vec{dl}$

Relation champ-potentiel :

$\overrightarrow{E(M)}=-\overrightarrow{grad}\,V(m)$

Equation de LAPLACE :

$div\,\overrightarrow{grad}\,V(M)=\Delta V=-\frac{\rho}{\epsilon_0}$

N'y a-t-il pas une erreur de signe, quand sur la page il y a écrit :

Équation de Poisson, pour une densité de charge ρ :

$\vec{\nabla} \cdot \vec{E}=-\frac{\rho}{\epsilon_0}$ ??

En effet : $\vec{E}=-\vec{\nabla} \cdot V$ et : $\vec{\nabla}^2 \cdot V = -\frac{\rho}{\epsilon_0}$

Equation de POISSON (cas particulier de LAPLACE) :

Δ V = 0

Exemples de potentiels :

Potentiel d'un fil fini :

$V(\rho)=\int_1^z\,dV=\frac{-\lambda}{2\pi\varepsilon_0}\,ln\,z$

Potentiel d'un disque chargé :

$V(z)=\frac{\sigma}{2\varepsilon_0}\,\int_0^R\,\frac{r\,dr}{\sqrt{r^2+z^2}}=\frac{\sigma}{2\epsilon_0}\,(\sqrt{R^2+z^2}-z)$

[modifier] Le potentiel électrostatique est continu dans l'espace.

[modifier] 2.3. Conducteurs dans un champs

$...$

[modifier] 3. Identités mathématiques de l'électrostatique

Théorème de Stockes : $\iint_{S} \ {rot} \; \vec{v} \cdot d\vec{S} = \int\vec{v} \cdot d \vec{r}$

Voir aussi :

Magnétostatique

Calcul vectoriel

Équation de Laplace

Force électromagnétique

Densité de charge et charge électrique

Théorème de Green

Potentiel électrique

Sources générateurs

[modifier] A l'aide !

L'Expression du champ électrique d'un disque de rayon R de centre O, portant une charge Q répartie uniformément avec une densité surfacique uniforme sigma, est donnée par : E(M)=(sigma/2epsilonzéro)[1-z/SQRT(z²-R²)] ou, comme, sigma=Q/(Pi.R²) E(M)=(2keQ/R²)[1-z/SQRT(z²-R²)] avec ke la constante de Couloumb et z la position du point M par rapport au centre du disque

Pour déduire le champ d'une sphère portant une charge Q répartie uniformément avec une densité volumique rho, on la subdivise en disque "élementaire" de rayon l d'épaisseur dl'. Chaque disque "élementaire" est suposé crée un champ élementaire donnée par ce qui précède c.a.d : dE(M)=(2ke.dQ/l²)[1-z/SQRT(z²-l²)] avec z=x+r où x désigne la distance du centre du disque élementaire au centre de la sphère et r la position de M par rapport au centre de la sphère.

Malheureusement, en appliquant le principe de superposition E(m)=Integral(dE) sur toute la sphère je retrouve à chaque fois une expression non conforme c;a;d différente de ce qu'elle devrait être à savoir : E(m)=E(r)=ke.Q/r²=4.Pi.ke.rho.R^3/3r² ?

Pouvez vous où est l'erreur, S.V.P? C'est urgent

P.S.: Benaouda_mah@yahoo.fr

Dans le tableau ci dessous, on considère qu'en 1 il y a une charge q1 et l'on regarde l'effet qu'elle produit en 2 : elle crée un potentiel et un champ électrique qui agit sur une charge q2 placée en 2. À gauche on raisonne en termes de force et énergie potentielle et à droite en termes de champ électrique et potentiel électrique.

Particule

Relation

Champ

quantité vectorielle

Force

$\vec{F_1(2)}={1 \over 4\pi\epsilon_0}{q_1 q_2 \over |r_{12}|^2}\vec{e_r} \$

$\vec{F_1(2)}=q_2\vec{E_1(2)}$

Champ Électrique

$\vec{E_1(2)}={1 \over 4\pi\epsilon_0}{q_1 \over |r_{12}|^2}\vec{e_r} \$

Relationship

$\vec{F_1(2)}=-\vec{\nabla}U(2)$

$\vec{E_1(2)}=-\vec{\nabla}V(2)$

Scalaire

Énergie Potentielle

$U_1(2)={1 \over 4\pi\epsilon_0}{q_1 q_2 \over |r|} \$

$U_1(2)=q_2V_1(2) \$

Potentiel

$V_1(2)={1 \over 4\pi\epsilon_0}{q_1\over |r_{12}|}$

[modifier] Potentiel électrique

Il n'y a aucune présentation du potentiel électrique qui est pourtant une des bases de l'électrostatique. Il me semblait qu'il y avait un chapitre la dessus avant, ça serait bien de le réintroduire et de faire aussi en sorte que l'article aie du plus simple au plus compliqué. Pour l'instant c'est un peu la foire aux formules et l'article attaque direct à un niveau bac+1 en science --Leridant 6 février 2006 à 10:17 (CET)