Vecteur isotrope
Un article de Wikipédia, l'encyclopédie libre.
[modifier] Définitions
- Soit E un espace vectoriel sur un corps K.
Soit f une forme bilinéaire sur E. Soit x un vecteur de E. On dit que x est un vecteur isotrope pour f si et seulement si f(x,x) = 0.
Le vecteur nul est toujours isotrope
- Une forme bilinéaire qui n'admet que le vecteur nul comme vecteur isotrope est qualifiée d'anisotrope.
[modifier] Propriétés
- Lorsque E est un espace vectoriel réel, une forme bilinéaire symétrique est anisotrope si et seulement si elle est strictement positive ou strictement négative, c’est-à-dire si si et seulement si c'est un produit scalaire au signe près.
En effet si x et y sont deux vecteurs tels que f(x,x) > 0 et f(y,y) < 0, on peut poser z = ax + y et on constate que f(z,z) = a2f(x,x) + 2af(x,y) + f(y,y) est un polynôme du second degré de discriminant négatif. D'autre part, z est non nul car x et y sont linéairement indépendant.
- lorsque E est un espace vectoriel complexe de dimension supérieure ou égal à 2, toute forme bilinéaire sur E admet au moins un vecteur isotrope.
Le raisonnement ci-dessus ne nécessite que de mineures adaptations.
- Pour une forme bilinéaire antisymétrique, tout vecteur est isotrope.
Espace euclidien • Espace hermitien • Forme bilinéaire • Forme quadratique • Forme sesquilinéaire • Orthogonalité • Base orthonormale • Projection orthogonale • Inégalité de Cauchy-Schwarz • Inégalité de Minkowski • Matrice définie positive • Matrice semi-définie positive • Décomposition QR • Déterminant de Gram • Espace de Hilbert • Base de Hilbert • Théorème spectral • Théorème de Stampacchia • Théorème de Riesz • Théorème de Lax-Milgram • Théorème de représentation de Riesz
