Variété symplectique

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En mathématiques, une variété symplectique est une variété différentielle M, munie d'une forme différentielle de degré deux ω fermée et non dégénérée, appelée forme symplectique. L'étude des variétés symplectiques relève de la topologie symplectique. Les variété symplectiques apparaissent lors de l'étude des formulations abstraites de la mécanique classique et analytique, liées au fibrés cotangents des variétés, notamment dans la description hamiltonienne de la mécanique, où les configurations d'un système forment une variété dont le fibré cotangent décrit l'espace des phases du système.

Toute fonction à valeurs réelles H sur une variété symplectique peut décrire un hamiltonien. Associée à n'importe quel hamiltonien, elle forme un champ vectoriel hamiltonien, dont l'intégrale curviligne est solution des équations de Hamilton-Jacobi. Le champ de vecteurs hamiltonien décrit un symplectomorphisme sur la variété symplectique.

[modifier] Variété symplectique linéaire

Il y a un modèle standard local, R²ⁿ avec ω_i,n+i = 1; ω_n+i,i = -1; ω_j,k = 0 pour tout i = 0,...,n-1; j,k=0,...,2n-1 (k ≠ j+n et j ≠ k+n). C'est un exemple d'un espace symplectique linéaire. Le théorème de Darboux montre que toute variété symplectique locale est construite sur cette base.

[modifier] Volume

À partir de la définition, on montre que pour toute variété symplectique M de dimension paire, 2n, la forme différentielle ωⁿ ne s'annule jamais. C'est une forme volume, appelée forme volume symplectique. Par suite, toute variété symplectique est canoniquement orientée et reçoit une mesure canonique, appelée mesure de Liouville : ωⁿ / n!.

[modifier] Variétés de contact

Les variétés de dimension impaire sont appelées variétés de contact. Si leur dimension est 2n+1 et qu'on les note (M, α), elles engendrent une variété symplectique de dimension 2n+2 (M × R, d(e^t α)).

[modifier] Lagrangien et autres variétés

Il existe plusieurs notions géométriques de sous-variétés d'une variété symplectique. On parle de sous-variété symplectique (de toute dimension paire) lorsque la forme symplectique induit une forme symplectique sur la sous-variété. On parle de sous-variété isotropique lorsque la forme symplectique est nulle, donc que chaque espace tangent est un sous-espace isotropique de l'espace tangent de la variété. Si chaque sous-espace tangent d'une sous-variété est coisotropique (ie le dual d'un sous-espace isotropique), la sous-variété est alors appelée coisotropique.

On parle en physique de sous-variété langrangienne pour les sous-variétés isotropiques de dimension maximale, ie égale à la moitié de celle de la variété dont elle est issue. Ces sous-variété apparaissent naturellement dans de nombreux problèmes physiques, mais aussi géométriques.

[modifier] Cas particuliers

Une variété symplectique munie d'un tenseur métrique compatible avec la forme symplectique est appelée variété de Kähler ou kählérienne.

Les variétés symplectiques sont des cas particuliers des variétés de Poisson.

[modifier] Voir aussi

[modifier] Références

(en) McDuff et D. Salamon: Introduction to Symplectic Topology (1998) Oxford Mathematical Monographs, ISBN 0-198-50451-9.
(en) Abraham et Jarrold E. Marsden, Foundations of Mechanics, (1978) Benjamin-Cummings, London ISBN 0-8053-0102-X
(en) Alan Weinstein, "Symplectic manifolds and their Lagrangian submanifolds", Adv. Math. 6 (1971), 329–346.