Sous-variété lagrangienne

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Les sous-variétés lagrangiennes sont l'analogue en géométrie symplectique des sous-espaces lagrangiens en algèbre linéaire.

Sommaire

1 Sous-fibré lagrangien
2 Sous-variétés lagrangiennes
3 Théorème de Weinstein
4 Voir Aussi

[modifier] Sous-fibré lagrangien

Une forme symplectique $ω$ sur un fibré vectoriel $E\rightarrow M$ est une section en tout point non dégénérée du fibré $E^*\wedge E^*\rightarrow M$ . Un sous fibré vectoriel $F$ de $E$ est dit lagrangien lorsque les fibres $F x$ sont des sous-espaces vectoriels lagrangiens des fibres $E x$ , id est :

$\forall X\in E_x,\forall Y\in F_x,\; \omega(X,Y)=0$

Exemple : Si $E\rightarrow$ est un fibré vectoriel réel, alors $E\oplus E^*\rightarrow M$ est naturellement muni d'une forme symplectique $ω$ donnée par : $\omega(v\oplus v^*,w\oplus w^*)=v^*(w)-w^*(v)$ . Le fibré $E$ est un sous-fibré lagrangien.

[modifier] Sous-variétés lagrangiennes

Si $L$ est une sous-variété différentielle de $M$ , le fibré tangent $TM\rightarrow M$ se restreint sur $L$ en un fibré de rang $n$ .

Une sous-variété $L$ d'une variété symplectique $(M,ω)$ est dite lagrangienne lorsque le fibré vectoriel $T L$ est un sous-fibré lagrangien du fibré symplectique $(T L M,ω)$ .

Exemples :

Toute courbe d'une surface munie d'une forme d'aire en est une sous-variété.

Soit L une variété différentielle. Considérons la forme de Liouville $λ$ sur $T * L$ . Si $σ$ est une forme différentielle sur $L$ , son graphe $\Gamma={\sigma(x),x\in R}$ est une sous-variété lagrangienne de $(T * L, d λ)$ ssi $σ$ est exacte.