Discuter:Vérité

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Sommaire 1 Et c'est reparti 2 vérité dans les sciences déductives 2.1 "il existe des propositions vraies et non démontrables" ? 3 Descartes et Spinoza : appel aux bonnes volontés

[modifier] Et c'est reparti

J'ai archivé cette longue page ; j'ai aussi upgradé l'article au niveau B dans le projet junior - pour la catégorie philosophie j'ai laissé comme c'était, n'étant pas membre du comité d'évaluation du projet. - Michel421 (d) 15 décembre 2007 à 23:24 (CET)

[modifier] vérité dans les sciences déductives

J'ai laissé passer un temps avant de m'attaquer à une lecture attentive de l'article. J'ai commencé par ce que je connais le mieux à savoir la vérité en mathématiques et en sciences. J'ai des remarques sur ce paragraphe :

• En logique et en mathématiques la vérité est relative à une sémantique, non pas à une syntaxe. N'est-ce pas exactement l'inverse ? La manière de passer des axiomes aux théorèmes se fait de manière syntaxique, sans prise en compte de la signification, et donc de la sémantique, des propositions logiques. Si le programme de Hilbert était possible et avait été mené à son terme, nous en serions à démontrer des théorèmes comme un ordinateur compile un programme informatique, donc de manière purement syntaxique. On y arrive d'ailleurs, sur un sous-ensemble des mathématiques, avec l'algèbre de Boole, où les choses se passent de manière purement syntaxique , sans aucune sémantique (cela avait été reproché d'ailleurs à Boole, quand il a essayé de traduire en algèbre l'Ethique de Spinoza ou la démonstration de l'existence de Dieu de Samuel Clarke).
• Il n'est donc pas susceptible de vérité ou de fausseté. Cela me semble contradictoire avec la première phrase. Si on affirme que la vérité est relative à une sémantique, c'est que la notion a une signification. En fait, une proposition mathématique ou logique est dite "vraie" si elle se déduit par des règles d'inférences logiques des axiomes ou de théorèmes. Une proposition est donc susceptible de vérité ou de fausseté, en ce sens.
• Les valeurs : Tout le premier paragraphe n'est pas faux, mais ne semble pas lié à la vérité mathématique et logique en particulier, on pourrait aussi bien dire cela de la vérité en général. A vrai dire, ce paragraphe est moins vrai en ce qui concerne la vérité mathématique, étant donné l'absence de sémantique des énoncés et donc l'absence de rapport à une réalité, justement.

Globalement, ce chapitre semble passer sous silence, voire nie, les visions conventionnalistes et structuralistes de la vérité mathématique, défendues respectivement par Poincaré et Bourbaki. Les visions de la vérité mathématique reliée à une sémantique se rapportent plutôt aux débats du début du XXe siècle. De nos jours, où on ne se pose plus la question de savoir si une géométrie est "vraie" ou non, et où le programme de Langlands joue un rôle central dans les mathématiques modernes, le point de vue conventionnaliste et structuraliste est de plus en plus en vigueur (le programme de Langlands visant à trouver des structures similaires entre des parties très différentes, de sémantique très différente, des mathématiques). On cherche activement, actuellement, à se débarrasser de la sémantique en mathématique.
Il me semble donc que ce paragraphe devrait plus faire apparaitre ces visions, au même titre, voire de manière plus centrale, de la vision "sémantique", plutôt datée début du XXe. Qu'en pensez-vous ? --Jean-Christophe BENOIST (d) 22 décembre 2007 à 22:02 (CET)

Sans blague, c'est vrai, il y a une vérité dans la syntaxe? Jette donc un coup d'oeil à ce que disent Proz et Epsilon0 sur la page de discussion de Circular. Lis Krivine 1999 (c'est pas le début du 20ème siècle) sur la distinction entre énoncés et formules. Et mes sources : Pabion 1976, Quine 1972. L'algèbre de Boole c'est de la syntaxe? Humm ça ça doit bien dater du début du 21ème - Michel421 (d) 22 décembre 2007 à 23:57 (CET)

Le programme de Langlands est une affaire purement algébrique, sans relation avec la sémantique, la syntaxe, la théorie de la démonstration ou l'épistémologie. Il n'est pas sans relation avec la théorie des catégories, mais c'est autre chose - Michel421 (d) 23 décembre 2007 à 00:48 (CET)

Tu dis "En fait, une proposition mathématique ou logique est dite "vraie" si elle se déduit par des règles d'inférences logiques des axiomes ou de théorèmes". Si tu veux dire que tout ce qui est démontrable est vrai, je veux bien. Mais si tu présentes ça comme une définition (qui s'applique dans les deux sens), ça ne marche que pour certaines théories dites complètes (géométrie basique, corps réel, algèbre de Boole, calcul des propositions, calcul des prédicats et théories isomorphes). Dès que l'induction mathématique entre en lice, il faut compter avec le 1er théorème d'incomplétude de Gödel lequel assure l'existence de propositions vraies non démontrables. La définition marche dans le sens "si" pas dans le sens "seulement si". On ne peut donc définir le vrai par le démontrable. - Michel421 (d) 23 décembre 2007 à 01:31 (CET)

Mais je suis d'accord que le paragraphe sur les valeurs est à aménager ; la première partie relève de la problématique de la vérité. - Michel421 (d) 23 décembre 2007 à 11:14 (CET)

Discussion intéressante. Je m'aperçois - à la lumière des références que tu donnes et aussi de la PdD que tu cites - que mon cursus d'informaticien et de mathématicien "de base" (non logicien) m'a donné une vision très semblable à celle donnée par exemple sur cette page, et qui est toujours il me semble assez répandue : la vérité mathématique est relative à un système d'axiomes (et donc en dérive syntaxiquement). C'est ce que on peut appeler une "vérité formelle", qui suffit dans 99.99% des besoins des mathématiciens, pour qui un théorème démontré à partir d'axiomes qu'ils considèrent "vrais" est "vrai". (en fait ils devraient dire "valide" en toute rigueur et non "vrai")

Je t'accorde donc que ce n'est pas une attitude rigoureuse (surtout dans le domaine de la logique mathématique), et que le point du vue que tu écris dans l'article est l'approche rigoureuse, logicienne.

Je me demande d'ailleurs si les mathématiciens se donnent réellement la peine de trouver des "modèles" pour établir une vérité sémantique des théories, et si la vérité formelle ne leur suffit pas. D'autant qu'ils oeuvrent toute la journée pour supprimer autant de sémantique que possible des théories, et pour trouver des isomorphismes entre domaines mathématiques sémantiquement très différents (cf. programme de Langlands).

Bon, tout cela pour dire que pour le lecteur "moyen", issu de cette culture, le paragraphe - bien que juste - peut surprendre. Il faudrait peut être introduire la notion de "validité" ("vérité formelle" ?) et montrer en quoi elle est différente de la vérité sémantique. Pour retrouver ses marques. Cordialement. --Jean-Christophe BENOIST (d) 23 décembre 2007 à 12:46 (CET)

La notion de validité est introduite dans l'article.

Je ne vois pas trop ce que tu veux dire quand tu dis qu'ils cherchent à éliminer la sémantique des théories. S'ils veulent faire une théorie, au sens strict, ils n'ont pas besoin de "chercher à" en éliminer la sémantique. La sémantique en est déjà absente. De plus cela voudrait dire qu'ils ne font qu'ajouter des molécules d'encre ou des octets les uns à la suite des autres sans se préoccuper de signification ou d'applications. Je ne pense pas que cela soit le cas. En tout cas il n'y a pas de vérité à trouver dans un tel exercice. - Michel421 (d) 23 décembre 2007 à 14:57 (CET)

Je suis assez surpris que l'article sur le programme de Langlands ne parle pas du tout de la théorie des catégories alors qu'il en utilise les concepts, comme la fonctorialité et les morphismes. - Michel421 (d) 23 décembre 2007 à 23:53 (CET)

Ce qui se passe c'est que chaque structure a ses axiomes, qui définissent la structure et ne sont pas les axiomes généraux des mathématiques. Mais dès qu'on est dans une structure on fait de la sémantique, par définition.

Alors certes, on peut s'intéresser davantage aux isomorphismes de structure ; c'est ainsi qu'il existe des catégories où on ne s'intéresse qu'aux flèches et on laisse tomber les objets ; Colin McLarty, et Lawwere, veulent pousser cette tendance jusqu'à éliminer totalement la théorie des ensembles et les concepts attachés, et remplacer tout ça par la théorie des catégories. J'ignore si ce projet est sérieux mais s'il aboutit, on aura changé de sémantique, on n'aura pas remplacé la sémantique par la syntaxe. - Michel421 (d) 24 décembre 2007 à 10:32 (CET)

Oui, je vois ce que tu veux dire, et tu as formellement raison. En fait, il y a une erreur que j'ai commise qui est de comprendre le mot "sémantique" dans son sens premier, à savoir "qui établit un rapport avec les données des sens et de l'intuition", alors qu'il est utilisé (à juste titre) dans l'article avec un sens plutôt "logicien"/liguistique.

Or, il existe des opinions, toujours bien vivantes, qui cherchent à couper les maths de la "sémantique" (dans ce sens bien précis, voir Conventionnalisme, article que je viens de créer). Mais, pour ces opinions, la notion de vérité ou de fausseté est sans doute aussi à exclure, ou se limite à la notion de "vérité formelle" qui est une commodité de langage.

Peut-être, sans changer sa structure ni son sens, quelques petits mots dans l'article seraient nécessaires pour repositionner tout cela et éviter les quiproquos. A voir. --Jean-Christophe BENOIST (d) 24 décembre 2007 à 12:30 (CET)

J'ai modifié en ce sens le § "le point de vue formel" ; j'ai aussi déplacé un petit bout de texte du § "valeurs" vers "problématique de la vérité". - Michel421 (d) 24 décembre 2007 à 17:37 (CET)

Bourbaki dit de Poincaré que l'induction complète ("récurrence sur les entiers") lui paraissait une intuition fondamentale de notre esprit, où il est impossible de voir une convention. Il se basait là-dessus pour récuser les langages formels. Voilà qui me semble peu compatible avec le "conventionnalisme" tel que tu le décris et dont Poincaré est censé être un représentant. - Happy Xmas to all Michel421 (d) 25 décembre 2007 à 14:25 (CET)

C'est surtout à cause de ses prises de position par rapport aux géométries non-euclidiennes (considérées par Poincaré comme équivalentes, les termes "points", "parallèle", "intersection" etc. étant conventionnels, et non attachés à une sémantique absolue) que Poincaré est souvent cité comme un tenant du conventionnalisme. Sinon, c'était effectivement un "intuitif", et il accordait une grande valeur à l'intuition. Et il s'est opposé d'ailleurs à Edouard Le Roy (qui est normalement un collègue conventionnaliste) à la fin de "La valeur de la science" pour son rejet absolu de l'intuition. Bon : c'est comme tous les "ismes", ce n'est jamais tout blanc tout noir, et il y a mille nuances dans les positions de chacun. De toutes manières, le terme et la notion de "conventionnalisme" a été forgée après Poincaré (chez Popper semble-t-il) et il n'est pas sûr que Poincaré aurait aimé être embrigadé chez eux. Mais toujours est-il que Poincaré a au une attitude clairement conventionnaliste par rapport aux géométries non-euclidiennes, et que toutes les sources retiennent cela principalement. Mais ce n'est pas un "pur et dur", c'est clair. Bonnes fêtes à tous aussi ! --Jean-Christophe BENOIST (d) 25 décembre 2007 à 17:59 (CET)

Bon complément à propos de la sémantique, à propos, Michel. Je trouve cela plus clair ainsi. Quand on parle de sémantique, il est toujours bon de préciser la sémantique du mot "sémantique" --Jean-Christophe BENOIST (d) 25 décembre 2007 à 18:03 (CET)

[modifier] "il existe des propositions vraies et non démontrables" ?

Cette phrase ajoutée récemment pourrait-elle être confirmée par l'auteur et justifiée. Merci. Chrisd (d) 27 décembre 2007 à 19:55 (CET)

C'est très exactement ce que dit le théorème d'incomplétude de Gödel. Pas de soucis. Michelet-密是力 (d) 28 décembre 2007 à 10:11 (CET)

Je conteste! , certes comme le dit Michelet c'est une version vulgarisée connue de ce théorème, ... mais sous un certain éclairage philosophique (souvent non perçu comme tel) qui s'appelle le réalisme. En logique formelle on peut toujours éviter le terme "vérité", pour le terme "valide". Donc un énoncé qui est un indécidable d'une théorie est valide dans certains de ses modèles et sa négation est valide dans d'autres modèles. Parler de "vrai" tout court signifie que l'on a en tête un modèle particulier (par exemple le modèle standard de l'arithmétique) jugé plus adéquat à la réalité mathématique ... ce qui suppose donc de croire au réalisme mathématique; position très répandue mais position philosophique parmi d'autres --Epsilon0 (d) 12 janvier 2008 à 21:54 (CET)

Je sais ce que tu veux dire, mais nulle part dans cette section de l'article il n'est question de vérité au sens ontologique. L'article insiste assez sur le fait que la vérité est relative à un modèle (ou une structure).

Quand à remplacer totalement le mot "vrai" par le mot "valide", il faut se souvenir que la notion de modèle n'est pas immédiate et passe par une série de définitions ; ainsi dans ma référence JF Pabion Logique mathématique un modèle d'un ensemble de formules est une structure qui rend valide chaque formule de l'ensemble ; la validité d'une formule est définie comme suit :

Def 6 p. 62 "Soient L un langage et α une structure pour L. On dit qu'une formule F(x₁,....,x_n) est valide dans α si quels que soient a₁,....,a_n dans | α | "

" | α | " désigne bien entendu le domaine de α .

"Si A est un énoncé de L, la notation a déjà été définie dans la section 3.6. Il est facile de voir que cette définition coïncide avec la nouvelle. Autrement dit, pour un énoncé, être satisfait dans α et être valide dans α sont équivalents."

En 3.6 le symbole "" est défini comme suit :

"Soit F(x₁,....,x_n) une formule de L. On dit qu'elle est satisfaite dans une structure α pour les valeurs a₁,....,a_n de ses variables si V[F(a₁,....,a_n)] = 1 dans α ; on note ceci : "

Ce qui veut dire que la valeur de vérité de F(a₁,....,a_n) est 1 quand on l'interprète dans α. Donc sous peine de circularité on ne peut remplacer partout "vrai" par "valide".

[J'ai adapté certaines fioritures non prises en compte par LaTex].--Michel421 (d) 14 janvier 2008 à 19:34 (CET)

• Concernant la def de la validité via la notion de satisfaisabilité et le fait que pour les énoncés (formules sans variables libres) cela coïncide ok. Concernant le fait que l'on ne peut éliminer le mot vrai dans le langage formel de la logique je conteste (la notion de valeur de vérité est usuelle, mais on peut toujours parler d'interprétation dans un ensemble à 2 éléments quelconque, pas forcément {vrai, faux} ni même {0, 1}). Par contre au niveau de l'interprétation philosophique de la logique on peut l'utiliser (Tarski ne s'en prive pas par exemple). Mais là n'est pas tant le pb ici (j'ai modifié l'article en utilisant les 2 termes vu comme synonymes).
• Par contre le gros pb de la formulation "il existe des propositions vraies et non démontrables" est de ne pas faire ressortir que ce n'est pas du tout dans le même type d'objet mathématique qu'un énoncé est "vrai" et "indécidable" :
  • "vrai" (valide) est une notion sémantique relative à une structure d'interprétation (appelé aussi modèles) (par exemple N le modèle standard de l'arithmétique)
  • "non démontrable", "indécidable" sont des notions syntaxiques relativent à une théorie (par exemple les Axiomes de Peano.

Certes certains logiciens utilisent cette expression pour faire rapide, mais eux, savent bien distinguer ces 2 aspects. Là dans une présentation rapide de ces thm d'incomplétude il est essentiel de bien distinguer ces 2 aspects; sinon on n'y comprends rien. J'ai modifié l'article en ce sens. Cordialement --Epsilon0 ε₀ 14 janvier 2008 à 22:15 (CET)

Distinction sémantique-syntaxe, c'est bien sur cela que la section est construite dès le début. C'est bien pour ça que "énoncé d'un langage d'une théorie" sert juste à embrouiller le lecteur. Cordialement --Michel421 (d) 14 janvier 2008 à 23:16 (CET)

Bon, une bonne chose de faite, il n'y a plus : "il y a des structures dans lesquelles existent des propositions vraies et non démontrables." qui est une phrase qui ne convient pas.

Sinon, ma formulation est sans doute lourde mais précise : "un énoncé du langage d'une théorie peut être non démontrable dans cette théorie et via être "vrai" (formellement valide) dans certains de ses modèles et "faux" (formellement sa négation est valide) dans d'autres"

Ton changement : "il y a des structures dans lesquelles existent des énoncés auxquels ne correspond aucune formule démontrable dans la théorie" Je ne sais s'il a la vertu de ne pas "embrouiller" le lecteur, par contre du haut de mes 15 années de pratique de la logique, je ne la comprends pas ;-)

Il n'y a pas d'énoncés dans une structure, mais des ensembles, plus précisément : une structure d'interprétation est la donnée 1. d'un ensemble de base M 2. d'une fonction d'interprétation f du langage considéré (cste d'indi, fonctions, relations) dans M. Lis dans ton manuel (que je ne connais pas) la définition d'une "structure d'interprétation" qui ne doit pas manqué d'y être.

Je suis d’accord pour ne pas s’appesantir sur le langage je mets donc à la place de :

• "il y a des structures dans lesquelles existent des énoncés auxquels ne correspond aucune formule démontrable dans la théorie"

La phrase :

• "Il existe des énoncés vrais dans un modèle d'une théorie où ils se trouvent être non démontrables"

Qui est une phrase française compacte mais où chaque mot est précisément employé à bon escient, et qui a une signification logique précise, à savoir :

• Il existe un énoncé E, une structure d'interprétation M, une théorie T, tels que :
  • M |= T (càd M est modèle de T)
  • M |= E (càd M est modèle de E, càd E est valide dans M, càd si on veut E est vrai dans M)
  • non (T|-E) E n'est pas démontrable dans T

(Question : faut-il le mettre ce développement dans l'article ?)

note1 : attention à ne pas confondre 1. la notion sémantique "|=" de conséquence logique, qui à gauche a un objet de la sémantique et à droite un objet de la syntaxe (énoncé, théorie) 2. la notion syntaxique "|-" de déductibilité entre 2 objets de la syntaxe.

note2 : Cet énoncé est un thm trivial qui en plus court dit simplement qu'il existe une théorie incomplète. Le thm d'incomplétude concerne le cas non trivial ou en plus : T est 1.une sur-théorie de AP 2. récursive et 3.cohèrente et où M est l'ensemble des entiers naturels munis de sa structure usuelles (concernant son langage de base qui est : {0, Succ, =} ).

Cordialement, --Epsilon0 ε₀ 16 janvier 2008 à 18:24 (CET)

J'ai supprimé tout ce paragraphe, qui avait été rajouté comme une sorte d'introduction mais qui a fini par parasiter le paragraphe original consacré au rapport de la sémantique et de la syntaxe.--Michel421 (d) 16 janvier 2008 à 20:46 (CET)

Cette façon de se ruer sur les premières lignes d'une section pour pontifier à côté de la plaque sans regarder le contexte est vraiment pénible--Michel421 (d) 18 janvier 2008 à 20:29 (CET)

[modifier] Descartes et Spinoza : appel aux bonnes volontés

Si quelqu'un se sent de taille à traiter Descartes et Spinoza sur le thème de la vérité, ce serait un plus considérable. Si je me souviens bien, Slonimsky avait quelques bonnes idées....--Michel421 (d) 18 janvier 2008 à 21:03 (CET)