Trident de Newton

Un article de Wikipédia, l'encyclopédie libre.

Trident d'équation y = x²+1/x
Trident d'équation y = x²+1/x

Le trident de Newton est le nom donné à une courbe étudiée par Isaac Newton. On la nomme aussi parfois parabole de Descartes - bien que ce ne soit pas une parabole.

Sommaire

[modifier] Classification des cubiques

Dans une étude menée en 1676 mais publiée en 1704, Newton cherche à classifier toutes les courbes cubiques, c’est-à-dire les courbes planes dont l'équation est de la forme :

ax^3 + bx^2y + cxy^2 + dy^3 + ex^2 + fxy + gy^2 + hx + iy + j = 0\,

Il en dénombre 72 types que l'ont peut ranger dans quatre classes par des changements de repère appropriés:

  1. les courbes d'équation xy2 + ey = ax3 + bx2 + cx + d
  2. les courbes d'équation xy = ax3 + bx2 + cx + d
  3. les courbes d'équation y2 = ax3 + bx2 + cx + d
  4. les courbes d'équation y = ax3 + bx2 + cx + d

Les tridents de Newton sont les courbes de type (2)

[modifier] Équation cartésienne

Les tridents de Newton ont pour équation cartésienne canonique :

x y = ax^3+ bx^2 + cx + d\,

où a et d sont non nuls.

[modifier] Analyse

[modifier] Domaine de définition

Les tridents de Newton ne sont pas définis en 0. Leur domaine de définition est donc :

D_f = \R^*

[modifier] Dérivée

Ce sont des fonctions rationnelles. Elles sont donc dérivables sur Df, et leur dérivée est :

f^'(x) = 2ax + b - \frac{d}{x^2}

[modifier] Limites

[modifier] Limite en l'infini

En l'infini, les tridents de Newton tendent ou bien vers +\infty, ou bien vers -\infty.

Si a>0 alors \lim_{x \to \pm\infty}f(x) = +\infty.

Si a<0 alors \lim_{x \to \pm\infty}f(x) = -\infty.

[modifier] Limites en 0

En 0, les tridents de Newton tendent vers +\infty ou -\infty.

Si d>0 alors \lim_{x \to 0^+}f(x) = +\infty et \lim_{x \to 0^-}f(x) = -\infty.

Si d<0 alors \lim_{x \to 0^+}f(x) = -\infty et \lim_{x \to 0^-}f(x) = +\infty.

[modifier] Asymptotes

Ils ont pour asymptotes la parabole d'équation

y = ax2 + bx + c

ainsi que l'hyperbole d'équation

y = \frac{d}{x}

[modifier] Intersection avec l'axe des abscisses

On dénombre entre un et trois points d'intersection entre un trident de Newton et l'axe des abscisses selon la valeur des coefficients a, b, c, d.

[modifier] Lien avec le folium de Descartes

Le changement de variable

x = \frac XY et y = \frac 1Y

Conduit à une équation de la forme :

XY = aX^3 + bX^2Y + cXY^2 + dY^3\,

En particulier, la courbe d'équation y = x^2 + \frac1x est alors transformée en un folium de Descartes

[modifier] Voir aussi

[modifier] Articles connexes

[modifier] Liens externes

Autres langues